Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETen utilisant le fait que X et Y sont indépendants conditionnellement à U nousobtenons :p(x,u∣y)=p(u∣y)p(x∣u)(IV.82)Nous avons détaillé précédemment comment nous pouvons approximer la loi duU∣Y dans le cas où U est CGM et comment nous pouvons le simuler. Supposons queU∼N N (µ,Σ=Q −1 ) alorsU∣Y∼N N (µ ∗ ,Σ ∗ =[Q ∗ ] −1 ) avec µ ∗ et Q ∗ sont obtenus parles formules (IV.72) et (IV.73). La loi p(x n ∣y) est obtenue en intégrant par rapportà u n :p(x n ∣y)=∫ p(x n ∣u n =u)p(u n =u∣y)du(IV.83)Pour modéliser la loi du X sachant U, nous pouvons utiliser le modèle Logit. Supposonsque les X s sont à valeur dans un espace finiX=Ω={ω 1 ,..,ω K }, alors p(x s ∣u s )est donné par :p(x n =ω i ∣u n )=exp(a i u n +b i )∑ K j=1exp(a j u n +b j )(IV.84)ExempleLe champ U est un champ gaussien Markovien de moyenne nulle et de matricede covariance Σ=Q −1 avec Q=τ(I N×N +φH).H s,t =⎧⎪⎨⎪⎩h s−h s,tsi s=tsi t∈ν(s)0 sinonAvec h s,t > 0 mesure de similarité entre le site s et le site t du réseau S, h s,t = h t,s ,et h s =∑ t∈ν(s) h s,t .Sur la figure (IV.29) on fait varier les valeurs φ=0,1,2,10 et nous prenons desvaleurs fixes pour h s,t = 1 de τ= 1. Nous concéderons que le système de voisinageest celui de 4-plus proche voisin. Et pour le champ Y , pour tout n y n ∼N(0,1) etde covariance cov(u n ,y n )=0.95. Le champ X est un champ discret à deux classesobtenus par filtre Logit a=1 et b=1. Les 4 lignes sur la figure (IV.29) representantles différentes valeurs de φ. les colonnes sont les processus : X, U, Y et Xr larestauration de X à partir de Y en mode supervisé.96