Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESUne chaîne de Markov est dite homogène si les transitions p(x n+1 ∣x n ) ne dépendentpas de n. La loi d’une chaîne de Markov homogène est alors entièrement déterminéepar sa loi initiale p(x 1 ) et les transitions p(x n+1 ∣x n ). On dit qu’une chaîne de Markovest stationnaire si elle est homogène et si la loi marginale p(x n ) ne dépend pasde n. La loi initiale est alors appelée loi invariante ou stationnaire. Notons qu’il estpossible de factoriser la loi d’une chaîne de Markov selon son graphe d’indépendanceconditionnelle. En effet, si X est une chaîne de Markov admettant pour graphe d’indépendanceconditionnelle (I.4), nous obtenons avec la propriété de Markov globale :X N et X 1∶N−2 sont indépendants conditionnellement à X N−1 :p(x 1∶N )=p(x 1∶N−2 ∣x N−1 )p(x N ∣x N−1 )(I.12)par récurrence sur la chaîne X 1∶N−2 nous obtenons alors :N−1p(x 1∶N )=p(x 1 )∏n=1p(x n+1 ∣x n )(I.13)Dans toute la suite, on notep i pour désigner p(x 1 =ω i ), etP=(p i,j ) k×k pour désignerla matrice des transitions p i,j =p(x n+1 =ω i ∣x n =ω j ).Dans toute la suite nous serons amenés à effectuer des simulations des réalisationsdes chaînes de Markov. Ces simulations se font directement : il suffit de fixer la loiinitiale p i et la matriceP. Nous commençons par simuler x 1 , ensuite pour tout n,on effectue un tirage aléatoire de x n selon sa loi p(x n ∣x n−1 ) conditionnelle à x n−1 .ExempleConsidérons l’exemple de simulation suivant. Nous simulons une chaîne X detaille N= 128×128 à deux étatsX={ω 1 ,ω 2 }, dont la loi admet pour matrice detransitionP :0.98 0.02P=(0.02 0.98 )La loi invariante correspond au vecteur propre gauche associé à la valeur propre 1de la matriceP. Le vecteur ligne π d’éléments p i correspondant à la loi invarianteet est obtenu en résolvant l’équation matricielle :πP=π.(I.14)Dans le cas de la matriceP, la loi invariante est donnée par π=( 1 2 , 1 2 ).Pour visualiser la chaîne simulée sous forme d’une image 2-D, nous allons représenterla réalisation par le parcours d’Hilbert-Peano. Le parcours d’Hilbert-Peano [7,83] est souvent utilisé en traitements d’images [110] dans le but de transformerdes données bidimensionnelles en données monodimensionnelles. Le parcoursest représenté par la figure (I.5). L’avantage de cette transformation est qu’elle permetde garder deux points, voisins dans la chaîne, voisins dans l’image. Cependant,deux points voisins dans l’image peuvent ne pas l’être dans la chaîne [7]. D’autrestypes de transformations sont connus dans la littérature comme la transformationen ligne ou en colonne, ou encore la transformation de Hilbert, qui ressemble à celuide Hilbert-Peano.12