Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSFigure V.1 – Simulation d’un FARIMA(0,0.49,0),N=1000Beaucoup de phénomènes aléatoires doivent être modélisés par des processus àmémoire longue; en particulier, ces phénomènes apparairessent en économie, informatique,... [41]. Bien entendu, les processus à mémoire longue peuvent présenter des« non-stationnarités » , ou des « sauts », modélisés par un processus aléatoire discret.Sachant qu’un processus à mémoire longue n’est pas un processus de Markov, lesmodèles par chaînes de Markov couple ne peuvent s’appliquer dans ce contexte. Leproblème peut être modélisé par une chaîne « partiellement » de Markov récemmentintroduite et étudiée dans [65], que nous présentons dans la section suivante.V.2 Chaîne couple partiellement de Markov (CCPM)Dans cette section, nous présentons le modèle de chaînes couples partiellementde Markov qui a été proposé dans l’article de Pieczynski [94]; voir également lesthèses [64,70]. Dans le cas particulier où le processus caché discret, modélisant lessauts, est markovien et les lois du processus observé conditionnellement au processuscaché sont gaussiens, il est possible de calculer les marginales a posteriori avec unecomplexité linéaire en nombre d’observations. De plus, la méthode ICE a été étendueà ce cas et les traitements bayésiens peuvent être faits en non supervisés.V.2.1 Présentation des CCPMSoient X=(X n ) 1∶N et Y =(Y n ) 1∶N deux processus aléatoires, avec les X n etles Y n à valeurs respectivement dans un espace finiX={ω 1 ,..,ω K } etY= R. Onnote par Z=(Z n ) 1∶N le processus couple(X,Y), avec que pour tout 1≤n≤N,Z n =(X n ,Y n ).Définition V.4 On dit que Z=(Z n ) 1∶N est une « chaîne couple partiellement deMarkov » (CCPM) si sa distribution p(z 1∶N ) vérifie :Np(z 1∶N )=p(z 1 ) ∏p(z n ∣x n−1 ,y 1∶n−1 ).n=2(V.3)101