Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE II. MODÈLE DE MARKOV COUPLE1. Étape directe :◻ Initialisation : α 1 (x 1 )=p(x 1 ,y 1 )◻ à l’étape(n+1), supposons α n calculé à l’étape précédente(n) :α n+1 (x n+1 )=K∑j=1α n (x n =ω j )p(z n+1 ∣z n )2. Étape rétrograde :◻ Initialisation : β N (x N )=1◻ à l’étape n, supposons β n+1 calculé à l’étape précédente :β n (x n )=K∑j=1β n+1 (x n+1 =ω j )p(z n+1 ∣z n )Lors de l’implémentation de l’algorithme de Baum-Welsh, des problèmes d’ordrenumérique peuvent apparaître à cause des α n qui seront considérés comme nuls sin est très grand, de même pour les β n si n est petit, et N grand. Pour surmonterces problèmes, P. A. Devijver a proposé l’algorithme de Baum-Welsh conditionneldans le cas de CMC-BI [37]. Dans la section suivante nous présentons l’algorithmede Baum-Welsh conditionnel dans le cas du chaîne de Markov couple présenté par S.Derrode et W. Pieczynski [35], qui peut être vu comme une généralisation de celuide P. A. Devijver au cas CMCouple.II.2.2 Algorithme de Baum-Welsh conditionnelDans le cas de CMC-BI Devijver (1985) a proposé un algorithme fondé sur lafactorisation des probabilités de lissagep(x n ∣y 1∶N ) pour assurer la stabilité numériquelors du calcul des α n et des β n . Pour cela, il propose de les diviser par des quantitésayant le même ordre de grandeur, afin de garder les p(x n ∣y 1∶N ) et p(x n+1 ∣x n ,y 1∶N )invariantes.On pose :̃α n (x n )= α n(x n )p(y 1∶n ) =p(x n∣y 1∶n )(II.20)(on peut remarquer que ceci est équivalent à l’étape de correction dans le filtre deKalman). On a :p(x n ,y 1∶N )=α n (x n )β n (x n )En remplaçant α n par p(y 1∶n )̃α n (x n ) nous obtenons :p(x n ,y 1∶N )=p(y 1∶n )̃α n (x n )β n (x n )(II.21)En divisant (II.21) par p(y 1∶N ) nous obtenons p(x n ∣y 1∶N ) en fonction dẽα n :p(x n ∣y 1∶N ) = p(y 1∶n)̃α n (x n )β n (x n )p(y 1∶N )= ̃α n(x n )β n (x n )p(y n+1∶N ∣y 1∶n )33