Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESDéfinition I.10 Soit(X,Y)=(X n ,Y n ) 1∶N un processus aléatoire couple à valeursdans l’espace produit R×R.(X,Y) est dit une chaîne de Markov cachée à bruitindépendant, si seulement si X est une chaîne de Markov, et la loi p(y∣x) vérifie :◻ les Y n sont indépendants conditionnellement aux X 1∶N :◻∀n∈{1,..,N} :I.3.1 Inférence Bayésiennep(y 1∶N ∣x 1∶N )=N∏n=1p(y n ∣x 1∶N ),p(y n ∣x 1∶N )=p(y n ∣x n ).(I.28)(I.29)Le calcul des probabilités à posteriori de X n conditionnellement à y=y 1∶N n’estpas toujours possible d’une manière exacte. Bien que les démarches générales soientles mêmes que dans le cas des CMC-BI, les sommes sont remplacées par des intégralesne pouvant pas être calculées explicitement dans tous les cas. En effet, si on désignepar α n = p(x n ,y 1∶n ) les probabilités « Forward »et par β n = p(y n+1∶N ∣x n ,y 1∶n ) lesprobabilités « Backward », alors :et pour tout n∈{2,..,N}p(x 1 ∣y)=∝α 1 (x 1 )β 1 (x 1 )p(x n ∣y)=∝α n (x n )β n (x n ),avec α n et β n sont obtenus d’une manière recursive :1. Calcul de α n (.) :◻ Initialisation : α 1 (x 1 )=p(x 1 ,y 1 ),◻ Supposons α n calculé a l’étape n :α n+1 (x n+1 )=∫ Rα n (x n )p(x n+1 ,y n+1 ∣x n )dx n .2. Calcul de β n (.)◻ Initialisation : β N (x 1 )=1,◻ Supposons β n+1 calculé a l’étape n+1 :β n (x n )=∫ Rβ n+1 (x n+1 )p(x n+1 ,y n+1 ∣x n )dx n+1 .(I.30)(I.31)(I.32)(I.33)Nous traitons dans la suite le cas d’une chaîne de Markov cachée gaussienne. Dansce cas, nous avons les propriétés suivantes :– Pour tout n, X n est une variable aléatoire gaussienne;– Conditionnellement à X n = x n , le noyau de transition p(.∣x n ) est la densitéd’une loi gaussienne.Dans ce cas, le calcul de α n et de β n est possible de manière directe par le filtrage deKalman et l’algorithme de Rauch-Tung-Striebel (RTS) [105], qui est un algorithmede lissage. Considérons l’écriture suivante du modèle :{ X n+1 =FX n +ǫ n ,Y n =m y +HX n +ξ n(I.34)avecX 1 ∼N(m 1 ,V 1 ), et lesǫ n ∼N(0,R) identiquement distribués et tels queǫ n x n ,les ξ n ∼N(0,Q) et tels que ξ n x n . Dans la sous-section suivante, nous détaillonsle filtre de Kalman.17