Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE III. ESTIMATION DES PARAMÈTRESLe troisième terme de l’équation (III.31) donne :µ q+1i= ∑N n=1γ n (i,θ q )y n∑ N n=1γ n (i,θ q )(III.36)i= ∑N n=1γ n (i,θ q )(y n −µ q+1i)(y n −µ q+1∑ N n=1γ n (i,θ q )σ q+1i) T(III.37)Les paramètres d’une CMC-BI sont également estimables par l’algorithme ICE.En effet, soit X une chaîne cachée stationnaire (p(x n+1 ,x n ) ne dépend pas de n)les estimateurs des paramètres de la loi de X sont calculables à chaque itération del’algorithme ICE. En utilisant l’algorithme de Baum-Welsh et sachant la valeur couranteθq deθ et les observationsy 1∶N nous pouvons calculer les quantitésϕ n (i,j,θ q ) etγ n (i,θ q ). Si nous choisissonŝπ i (x,y) comme estimateur pour π i à partir des donnéescomplètes :̂π i (x,y)= ∑N n=11(x n =ω i ),Nalors l’estimation de π i à l’itération q+1 est donné par son espérance conditionnelleaux observations. Elle est ici calculable et nous avons :π q+1i= E θ q[̂π i (x,y)∣Y=y]= 1 NN∑n=1γ n (i,θ q )(III.38)Le calcul des transitionsa i,j fait intervenir les probabilitésc i,j =p(x n+1 =ω i ,x n =ω j ),a i,j =p(x n+1 ∣x n )= p(x n+1,x n )p(x n )= c i,jp(x n ) .L’ estimateur empirique des probabilités c i,j sachant les observations complètes(x 1∶N ,y 1∶N ) est :ĉ i,j = ∑N−1 n=1 1(x n+1 =ω i ,x n+1 =ω j ). (III.39)N−1L’espérance conditionnelle aux observations de cet estimateur de c i,j est à nouveaucalculable; en effet, à l’itération q+1 elle est donnée par :c q+1i,j= E θ q[ĉ i,j (x,y)∣Y=y]=N−11N−1∑n=1ϕ n (i,j,θ q )(III.40)Finalement, nous obtenons les coefficients de la matrice de transition a q+1i,jpar :a q+1i,j= ∑N−1∑ N−1n=1 ϕ n (i,j,θ q )n=1 γ n (i,θ q ) . (III.41)Il est intéressant de noter que nous obtenons, par une démarche différente, uneformule identique à celle donnée par l’algorithme EM. Le deuxième sous ensembledes paramètres sont les paramètres de la loi deY n sachant X n . Les estimateurs de cesparamètres à partir des données complètes, rappelés ci-dessous, sont les mêmes queceux utilisés dans le cas indépendant dans la sous-section précédente. Comme dansle cas indépendant, le calcul de l’espérance conditionnelle de ces estimateurs n’est50