ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSet pour le filtrage :E[X n+1 ∣r n+1 ,y 1∶n+1 ] = ∑r nE[X n+1 ∣r n ,r n+1 ,y 1∶n+1 ]p(r n ∣r n+1 ,y 1∶n+1 )= ∑r nF n+1 (r n+1 ,y n+1 )E[X n ∣r n ,y 1∶n ]p(r n ∣r n+1 ,y 1∶n+1 )+∑r nH n+1 (r n+1 ,y n+1 )p(r n ∣r n+1 ,y 1∶n+1 )les probabilitésp(r n ∣r n+1 ,y 1∶N ) etp(r n ∣r n+1 ,y 1∶n+1 ) sont calculables dès quep(r n ,y n+1 ∣r n−1 ,y 1∶n−1 )sont calculables, nous avons :etp(r n ∣r n+1 ,y 1∶N ) = p(r n,r n+1 ,y 1∶N )p(r n+1 ,y 1∶N )= p(r n,y 1∶n )p(y n+1∶N ,r n+1 ∣r n ,y 1∶n )̃α n+1 (r n+1 )̃β n+1 (r n+1 )= p(r n,y 1∶n )p(y n+2∶N ∣r n+1 ,y 1∶n+1 )p(r n+1 ,y n+1 ∣r n ,y 1∶n )̃α n+1 (r n+1 )̃β n+1 (r n+1 )̃α n (r n )=̃α n+1 (r n+1 ) p(r n+1,y n+1 ∣r n ,y 1∶n )p(r n ∣r n+1 ,y 1∶n+1 ) = p(r n,r n+1 ,y 1∶n+1 )p(r n+1 ,y 1∶n+1 )= p(r n,y 1∶n )p(r n+1 ,y n+1 ∣r n ,y 1∶n )p(r n+1 ,y 1∶n+1 )p(r n ,y 1∶n )=p(r n+1 ,y 1∶n+1 ) p(r n+1,y n+1 ∣r n ,y 1∶n )L’hypothèse que(R,Y) est une chaîne Gaussienne partiellement de Markov permetainsi de prendre en considération des chaînes à bruit de mémoire longue et de fairedes calculs exacts dans le cas d’un modèle à sauts markoviens. On peut considérerle cas particulier des CCLSM-BG, le le bruit gaussien est "à mémoire longue". Nousappellerons ces modèles "chaîne conditionnellement linéaire à sauts markoviens etbruit gaussien à mémoire longue" (CCLSM-GML). En particulier, lorsque ce bruitest paramétré, il est possible d’estimer la loi de(R,Y) à partir de Y , ce qui permetde proposer des méthodes de filtrage "semi-supervisées".Proposition V.5 SoitT=(X,R,Y)une chaîne conditionnellement linéaire à sautsmarkoviens et bruit gaussien à mémoire longue (CCLSM-GML). Alors le lissage (resp. le filtrage )est réalisable avec une complexité linéaire en N (resp. en n).Preuve : même preuve que la preuve de la proposition (V.4).Nous présentons dans la sous-section suivante quelques premiers résultats numériquesobtenus avec les modèles CCLSM-GML.110
CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSV.4 ExperimentationsNous présentons deux séries d’expérimentations.Dans la première on s’intéresse à l’estimation du processus R (la recherche dessauts). On simule deux séries de données : une première selon le modèle classiqueCMC-BI et une deuxième selon le modèle CCPM. Chacune d’elles est segmentéepar la méthode bayésienne MPM, avec les vrais paramètres ou en non supervisé,utilisant, respectivement, chacun des deux modèles.Dans la deuxième série on s’intéresse au filtrage exact fondé sur notre modèleCCLSM-GML. Nous comparons la qualité du filtrage obtenu "à R connu" avec celleobtenu dans le cas général où R est caché.Nous commençons par simuler une chaîne de Markov R à deux classes et detaille N= 500. La chaîne est stationnaire avec la loi définie par p(ω 1 ,ω 1 )=0.495,p(ω 1 ,ω 2 )=0.05. La trajectoire obtenue est présentée à la figure (V.2).21.510.50−0.5R−10 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500Figure V.2 – R : Chaîne de Markov p(ω 1 ,ω 1 )=0.495 et p(ω 1 ,ω 2 )=0.05Ensuite, nous appliquons trois types de bruits sur la chaîne R : un bruit gaussienindépendant et deux bruits gaussiens à mémoire longue. Les trajectoires y1∶N 1 , y2 1∶Net y1∶N 3 obtenues ainsi que les paramètres des bruits sont présentés à la figure (V.3)Chacune de ces trajectoires est segmentée par deux méthodes bayésiennes MPM : lapremière utilise le modèle CMC-BI, et la deuxième utilise le modèle CCLSM-GML.Les segmentations se font en non supervisé, les paramètres étant estimés par laméthode ICE. Pour le modèle du CMC-BI, nous utilisons les estimateurs que nousavons détaillés dans le chapitre (III). Dans notre cas, où le bruit est stationnaire dusecond ordre avec une famille de covariance γ(h) de la forme :∀ h∈N, γ(h)=σ 2 (1+h) −α ,(V.23)les paramètres du modèle CCLSM-GML sont :◻ Pour la loi de la chaîne X : les K 2 paramètres p(x n =ω i ,x n+1 =ω j );◻ Pour la chaîne Y conditionnellement à X :Les K moyennes m ωi ,Les K variances σ 2 ω i=γ ωi (0),Les K paramètres α ωi de la famille de covariance.111
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École Doctorale SMPCThèse présen
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ABSTRACTis to extend these models t
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Table des matièresRésumé . . . .
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NotationsSymbolesN Nombre des obser
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IntroductionNotre travail se situe
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INTRODUCTIONgénéral que le modèl
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Chapitre IModèles de Markov Classi
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