Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE III. ESTIMATION DES PARAMÈTRESet son espérance conditionnelle sachant y et la valeur courante des paramètres θ qest :Q(θ,θ q ) =+K∑k=1Nlog(π k )E[1(x 1 =ω k )∣y,θ q N−1]+K∑n=1KK∑∑log(a i,j )E[1(x n+1 =ω i ,x n =ω j )∣y,θ q ]i=1 j=1∑∑logp(y n ∣x n =ω i ,θ)E[1(x n =ω i )∣y,θ q ]n=1 i=1En notant γ n (i,θ q )=p(x n =ω i ∣y,θ q ) et ϕ n (i,j,θ q )=p(x n =ω i ,x n+1 =ω j ∣y,θ q ), nousobtenons la fonction à maximiser :KQ(θ,θ q )= ∑i=1γ 1 (i,θ q N−1)log(π i )+NK∑n=1KK∑∑ξ n (i,j,θ q )log(a i,j )i=1 j=1+ ∑∑γ n (i,θ q )logp(y n ,µ i ,σ i )n=1 i=1(III.31)L’étape (E) consiste à calculer les γ n (i,θ q ) et les ϕ n (i,j,θ q ), qui sont calculables parl’algorithme de Baum-Welsh sachant les paramètres courants θ q . Nous avonspar ailleurs nous avons :γ n (i,θ q )=p(x n =ω i ∣y,θ q α n (i)β n (i))=∑ K j=1α n (j)β n (j)p(x n+1 =ω j ∣x n =ω i ,y)= β n+1(j)β n (i) p(x n+1∣x n )p(y n+1 ∣x n+1 )en utilisant la formule de Bayes :nous obtenons :p(x n =ω i ,x n+1 =ω j ∣y)=p(x n =ω i ∣y)p(x n+1 =ω j ∣x n =ω i ,y)(III.32)ϕ n (i,j,θ q )=p(x n =ω i ,x n+1 =ω j ∣y,θ q α n (i)a i,j p(y n+1 ,φ j )β n+1 (j))=∑ K i=1∑ K j=1α n (i)a i,j p(y n+1 ,φ j )β n+1 (j)(III.33)Une fois les quantités γ n (i,θ q ) et ϕ n (i,j,θ q ) calculées, nous pouvons passer à l’étapede maximisation (M) de la fonction Q(θ,θ q ) par rapport aux paramètres du modèle.La maximisation de cette fonction fait intervenir le multiplicateur de Lagrangepour prendre en considération les contraintes du modèle. La première contrainteest∑ K i=1π i = 1 et la deuxième est∀j= 1,..,K ∑ K i=1a i,j = 1. Le premier terme faitintervenir la première contrainte et nous obtenons après résolution :π q+1i= 1 NN∑n=1γ n (i,θ q )(III.34)Le deuxième terme fait intervenir la contrainte∀j=1,...,K ∑ K i=1a i,j =1, et a q+1i,jestdonnée par :a q+1i,j= ∑N−1 n=1 ϕ n (i,j,θ q )(III.35)∑ N−1n=1 γ n (i,θ q )49