ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETest ainsi une chaîne couple où les T n sont à valeurs dans l’espace produitX×R 2 . Ensupposant T markovienne nous avons :N−1p(t)=p(t 1 )∏n=1p(t n+1 ∣t n )(IV.33)Par ailleurs, la loi marginale a posteriori p(x n ∣y 1∶N ) du processus caché X estobtenue à partir de celle du processus couple(X,U) par :p(x n ∣y 1∶N )=∫ Rp(v n ∣y 1∶N )du=∫ Rp(x n ,u n ∣y 1∶N )du n(IV.34)Étant donné que T=(V,Y) est une chaîne de Markov couple ses lois marginalesa posteriori p(v n ∣y 1∶N ) peuvent être obtenues par des algorithmes analogues à ceuxprésentés dans le chapitre (II), avec cependant certaines sommes remplacées pardes intégrales. Si on note par α n (v) la probabilité (pour simplifier, on continueraà l’appeler « probabilité » sachant que c’est densité par rapport au produit dela mesure de comptage par la mesure de Lesbegue) progressive et par β n (v) lesprobabilités rétrogrades alors p(v n ∣y 1∶N ) est donné par :p(v n ∣y 1∶N )∝α n (v n )β n (v n )(IV.35)avec les α n (v)=p(v n = v,y 1∶n ) et β n (v)=p(y n+1∶N ∣v n = v,y n ) calculables par récurrence:α 1 (v 1 )∝p(t 1 ) et α n+1 (v n+1 )=∑∫ α n (v n )p(t n+1 ∣t n )du n ,X R(IV.36)etβ N (v N )=1 et β n (v n )=∑∫ β n+1 (v n+1 )p(t n+1 ∣t n )du n+1X R(IV.37)Le modèle CMTM est très riche sous sa forme générale et, comme dans le cas dela CMT classique, on obtient un grand nombre de modèles particuliers. Par exemple,en considérant le triplet T=(X,U,Y) comme étant un couple T=(V,Y) à bruitindépendant, les transitions p(t n+1 ∣t n ) s’écrivent :p(t n+1 ∣t n )=p(y n+1 ∣x n+1 )p(x n+1 ∣u n+1 ,x n )p(u n+1 ∣u n ,x n )(IV.38)Le graphe d’indépendance conditionnelle non orienté d’un tel modèle est alors lesuivant :76
CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETy 1 y 2 y 3 y Nx 1 x 2 x 3 x Nu 1 u 2 u 3 u NFigure IV.14 – Graphe d’indépendance conditionnelle d’une chaîne nonstationnairecachée à bruit indépendant.Nous avons la même expression que dans le cas de la chaîne M-stationnaire cachéeétudiée précédemment; cependant, le calcul explicite des α n et des β n n’est pastoujours possible à cause des intégrales présentées dans les formules de récurrence.Considérons le modèle suivant, qui est un cas particulier du modèle précédent etqui est sans doute parmi les plus simples CMTM possibles. Les transitions p(t n+1 ∣t n )s’écrivent :p(t n+1 ∣t n )=p(u n+1 ∣u n )p(x n+1 ∣u n+1 )p(y n+1 ∣u n+1 ) (IV.39)Un tel modèle peut également être introduit à partir des propriétés suivantes :a) U est un processus Markovien :N−1p(u)=p(u 1 )∏n=1p(u n+1 ∣u n );(IV.40)b) X et Y sont indépendants conditionnellement à UXY∣U(IV.41)c) Les Y n sont indépendants conditionnellement à U et Y n U p≠n ∣U np(y∣u)=N∏n=1p(y n ∣u)=N∏n=1p(y n ∣u n )(IV.42)d) Les X n sont indépendants conditionnellement à U et X n U p≠n ∣U np(x∣u)=N∏n=1p(x n ∣u)=N∏n=1p(x n ∣u n )(IV.43)Comme X et Y sont indépendants conditionnellement à U nous pouvons écrirela loi p(t) sous la forme suivante :p(t)=p(x,u,y)=p(u)p(x∣u)p(y∣u)(IV.44)77
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ABSTRACTis to extend these models t
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NotationsSymbolesN Nombre des obser
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IntroductionNotre travail se situe
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INTRODUCTIONgénéral que le modèl
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Bibliographie[1] C. Andrieu, M. Dav
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BIBLIOGRAPHIE[31] O. L. V. Costa, M
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BIBLIOGRAPHIE[66] P. Lanchantin, J.
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BIBLIOGRAPHIE[99] W. Pieczynski and
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