Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETet :p(u n+1 ∣x n+1 ,u n )={ δ u n−1(u n+1 ) si u n >1,d(x n+1 ,u n+1 ) si u n =1.(IV.28)Il est alors possible de montrer [70,73] que ce modèle est une chaîne semi-markovienneclassique dont les transitions et la loi du temps de séjour sont données par :q(x ′ ∣x)= r(x′ ∣x)1−r(x∣x) ∀x≠x′ ;(IV.29)d(x,u)=(1−r(x∣x)) ∑(r(x∣x)) k−1uk=1∑v 1 +..+v k =ud(x,v 1 )..d(x,v k )∀u≥1.(IV.30)Nous avons ainsi une chaîne semi-markovienne dont la loi de séjour n’est pasdonnée explicitement. Par ailleurs, les conditions nécessaires et suffisantes pour queX soit une chaîne de Markov de matrice des transitions Q(ω i ,ω j )=p(x n+1 =ω i ∣x n =ω j ) sont les suivantes :{ d(ω i,1)=1∀i=1,..,K etr(ω i ∣ω j )=Q(ω i ,ω j ).(IV.31)Dans la suite, nous présentons deux expériences pour tester les différences entreles chaînes semi-markovienne cachées et les chaînes de Markov cachées classiques.La première et la deuxième expérience consistent à segmenter des données issuesrespectivement d’un modèle de chaîne de Markov cachée à bruit indépendant etd’un modèle de chaîne semi-markovienne à bruit indépendant. Le but de la premièreexpérience est de vérifier que l’utilisation, en non supervisé, des chaînes semimarkoviennesne dégrade pas les résultats obtenus avec les chaînes markoviennes. Lebut de la deuxième expérience est de regarder si les chaînes markoviennes classiquespeuvent "approcher" les chaînes semi-markoviennes.Nous considérons des données de taille N=256×256, qui sont représentées sousforme bi-dimensionnelle en utilisant parcours d’Hilbert-Peano (I.5). Pour l’estimationdes paramètres de chaque modèle nous choisissons d’utiliser l’algorithme ICE etnous itérons 100 fois pour chaque modèle. Concernant l’initialisation de l’ICE nousutilisons, comme précédemment, l’algorithme des K-moyennes ( voir Annexe (A)).Ce dernier nous donne une "réalisation" x 0 du processus X que l’on utilise pourestimer la valeur initiale des paramètres.Les données de la première expérience sont obtenues par la simulation d’uneréalisation x=(x n ) 1∶N d’une chaîne X=(X n ) 1∶N markovienne dont les X n sont àvaleurs dansX={ω 1 ,ω 2 }. La matrice des transitionsP=p(x n+1 ∣x n ) de la chaîne Xest :0.99 0.01P=( ), (IV.32)0.01 0.99la loi de p(y n ∣x n ) est une gaussienneN 1 (0,3) si x N =ω 1 etN 2 (1,3) si x n =ω 2 et noussupposons que les Y n sont indépendantes conditionnellement aux X n . La réalisation(x n ) 1∶N de X est représentée par (a) de la figure (IV.11) et la réalisation(y n ) 1∶N deY par (b) de la même figure.71