Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

Chapitre VChaînes conditionnellement linéairesà sauts markoviensDans ce chapitre, nous proposons un nouveau modèle de chaîne triplet « partiellement» de Markov qui permet de calculer, en présence des sauts, le filtrage etle lissage optimaux avec une complexité linéaire en nombre d’observations. Dans cemodèle, nous considérons un triplet T=(X,R,Y) où X et Y sont deux processus àespace d’état continu aux valeurs respectivement dansX etY. Le processus R estun processus discret qui modélisera les sauts du système considéré. La nouveautéde ce travail, fait en collaboration avec Noufel Abbassi, est de considérer pour la loide Y conditionnellement à R une loi à mémoire longue. Nous proposons un modèlegénéral dans lequel le filtrage et le lissage exacts sont possibles avec une complexitélinéaire en nombre d’observations. Nous discutons également sa position par rapportaux modélisations classiques dans lesquelles les calculs avec une telle complexité nesont pas possibles et donc on doit faire des approximations. Parmi les méthodesd’approximation celle de type « filtrage particulaire » est actuellement sans doute laplus utilisée.Nous commençons par donner différentes définitions concernant les processusà longue mémoire ainsi qu’un exemple classique d’un tel processus. Ensuite nousprésentons le modèle de la chaîne couple partiellement de Markov qui permet deprendre en considération la mémoire longue. Enfin, nous présentons le modèle àsaut avec la mémoire longue et précisons les formules du filtre optimal.V.1 Processus à mémoire longueDans cette sous-section, Y=(Y n ) n∈Z est un processus aléatoire dont les composantesY n sont à valeurs dans R.Rappelons que l’on définit L 2 (Ω,P) comme l’ensemble des v.a Y ∶ Ω→R telleque∥Y∥ 2 =[E(Y 2 )] 1 2 est finie. On dit alors que Y est de carré integrable. L 2 (Ω,P)muni du produit scalaire= E[XY] est un espace d’Hilbert. Pour X etY∈L 2 (Ω,P) on note :– σ 2 X = E(∣X− E(X)∣2 ) la variance de X ;– Γ(X,Y)=E([X− E(X)][Y− E(Y)]) la covariance de X et Y ;– ρ(X,Y)= Γ(X,Y)σ X σ Yle cœfficient de corrélation de X et Y .99