ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUES(a) (b) (c)Figure I.8 – Exemple : simulation et segmentation d’une chaîne CMC-BI (a) Xsimulé à 2 classes{ω 1 ,ω 2 }, p i =0.5 et p(ω i ∣ω i )=0.99 (b) Y simulé avecN ω1 (0.0,1.0)etN ω2 (2.0,1.0) (c) X estimé avec les vrais paramètres (taux d’erreur 0.61%)Lors de l’implémentation de l’algorithme de Baum-Welsh, des problèmes d’ordrenumérique peuvent apparaître car les α n tendent vers 0 lorsque n est suffisammentgrand etβ 1 tend également vers0lorsque la tailleN de l’échantillon tend vers l’infini.Pour surmonter ces problèmes, des variations de cet algorithme ont été proposées,comme l’algorithme de Baum-Welsh conditionnel [35,37].I.3 CMC à espace d’états continuDans cette section, nous nous intéressons au cas des modèles de chaînes de Markovcachées où les données latentes sont réelles. La définition de la markovianité est,bien entendu, identique à celle des chaînes discrètes :Définition I.9 Soit X=(X n ) 1∶N un processus aléatoire, dont les marginales X nsont à valeurs dans R. X est une chaîne de Markov si et seulement si il admetcomme graphe d’indépendance conditionnelle non-orienté le graphe représente parla figure (I.4).Comme nous l’avons déjà mentionné dans l’exemple (I.1), le processus X qui estun AR(1) est une chaîne de Markov à espace d’état continu. L’écriture des processusAR(1) se généralise à l’écriture suivante∀n∈{2,..,N}, X n+1 =f(X n ,ǫ n ),(I.26)où les ǫ n sont identiquement distribués dans le cas d’une chaîne homogène. Une telleécriture admet souvent des interprétations physiques en termes de la dépendanceentre les variables cachées et le « bruit », et est de ce fait souvent utilisée. Cependant,nous continuerons à utiliser les mêmes notations p(.∣x n ) pour les transitions : latransition p(.∣x n ) est alors la densité de la variable aléatoire f(x n ,ǫ n ). Comme dansle cas discret, la densité p(x) est factorisée selon :N−1p(x)=p(x 1 )∏n=1p(x n+1 ∣x n ).(I.27)La définition suivante, rappelée pour mémoire, est identique à celle définissant lesCMC-BI discrètes :16
CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESDéfinition I.10 Soit(X,Y)=(X n ,Y n ) 1∶N un processus aléatoire couple à valeursdans l’espace produit R×R.(X,Y) est dit une chaîne de Markov cachée à bruitindépendant, si seulement si X est une chaîne de Markov, et la loi p(y∣x) vérifie :◻ les Y n sont indépendants conditionnellement aux X 1∶N :◻∀n∈{1,..,N} :I.3.1 Inférence Bayésiennep(y 1∶N ∣x 1∶N )=N∏n=1p(y n ∣x 1∶N ),p(y n ∣x 1∶N )=p(y n ∣x n ).(I.28)(I.29)Le calcul des probabilités à posteriori de X n conditionnellement à y=y 1∶N n’estpas toujours possible d’une manière exacte. Bien que les démarches générales soientles mêmes que dans le cas des CMC-BI, les sommes sont remplacées par des intégralesne pouvant pas être calculées explicitement dans tous les cas. En effet, si on désignepar α n = p(x n ,y 1∶n ) les probabilités « Forward »et par β n = p(y n+1∶N ∣x n ,y 1∶n ) lesprobabilités « Backward », alors :et pour tout n∈{2,..,N}p(x 1 ∣y)=∝α 1 (x 1 )β 1 (x 1 )p(x n ∣y)=∝α n (x n )β n (x n ),avec α n et β n sont obtenus d’une manière recursive :1. Calcul de α n (.) :◻ Initialisation : α 1 (x 1 )=p(x 1 ,y 1 ),◻ Supposons α n calculé a l’étape n :α n+1 (x n+1 )=∫ Rα n (x n )p(x n+1 ,y n+1 ∣x n )dx n .2. Calcul de β n (.)◻ Initialisation : β N (x 1 )=1,◻ Supposons β n+1 calculé a l’étape n+1 :β n (x n )=∫ Rβ n+1 (x n+1 )p(x n+1 ,y n+1 ∣x n )dx n+1 .(I.30)(I.31)(I.32)(I.33)Nous traitons dans la suite le cas d’une chaîne de Markov cachée gaussienne. Dansce cas, nous avons les propriétés suivantes :– Pour tout n, X n est une variable aléatoire gaussienne;– Conditionnellement à X n = x n , le noyau de transition p(.∣x n ) est la densitéd’une loi gaussienne.Dans ce cas, le calcul de α n et de β n est possible de manière directe par le filtrage deKalman et l’algorithme de Rauch-Tung-Striebel (RTS) [105], qui est un algorithmede lissage. Considérons l’écriture suivante du modèle :{ X n+1 =FX n +ǫ n ,Y n =m y +HX n +ξ n(I.34)avecX 1 ∼N(m 1 ,V 1 ), et lesǫ n ∼N(0,R) identiquement distribués et tels queǫ n x n ,les ξ n ∼N(0,Q) et tels que ξ n x n . Dans la sous-section suivante, nous détaillonsle filtre de Kalman.17
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Annexe AK-meansL’algorithme K-mea
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Annexe CVecteurs gaussiensDéfiniti
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Bibliographie[1] C. Andrieu, M. Dav
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BIBLIOGRAPHIE[31] O. L. V. Costa, M
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BIBLIOGRAPHIE[66] P. Lanchantin, J.
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BIBLIOGRAPHIE[99] W. Pieczynski and
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