Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE II. MODÈLE DE MARKOV COUPLELe calcul du MAP est possible avec l’algorithme de programmation dynamique,appelé algorithme de Viterbi.Nous pouvons factoriser max p(z) de la façon suivante :xmaxxp(z)=maxx n{maxx n+1∶Np(z n+1∶N ∣z n )maxx 1∶n−1p(z 1∶n )}(II.29)Cette factorisation permet d’avoir la récursion de type « avant » basée sur lesprobabilités p(z 1∶n ).Si on définit δ n (z n ) par :δ n (z n )= maxx n+1∶N ∈Ω N−n p(z n+1∶N∣z n )Les δ n (z 1∶n ) vérifient la récurrence arrière suivante :en effet :δ n−1 (z n−1 )=maxx n∈Ω p(z n∣z n−1 )δ n (z n )δ n−1 (z n−1 ) = maxx n∶N ∈Ω N−n+1 p(z n∶N∣z n−1 )= max p(z n+1∶N∣z n )p(z n ∣z n−1 )x n∶N ∈Ω N−n+1= max p(z n∣z n−1 ) max p(z n+1∶N∣z n )x n∈Ω x n+1∶N ∈Ω N−n= max p(z n∣z n−1 )δ n (z n )x n∈Ω(II.30)(II.31)Pour stocker les valeurs qui maximisent lesδ n−1 (z 1∶n−1 ) dans le sens rétrograde, d’uneétape à l’autre, on utilise l’égalité suivante :ψ n (x n−1 )=argmaxx n∈Ωp(z n ∣z n−1 )δ n (z n )Finalement, l’algorithme de Viterbi se déroule de la manière suivante :◻ Initialisation :ψ N (x N−1 )=argmax p(z N ∣z N−1 )x N ∈Ωetδ N−1 (z N−1 )=max p(z N∣z N−1 )x N ∈Ω◻ Calcul dans le sens rétrograde :∀n=N−1,..,1etψ n (x n−1 )=argmaxx n∈Ωp(z n ∣z n−1 )δ n (z n )δ n−1 (z n−1 )=maxx n∈Ω p(z n∣z n−1 )δ n (z n )◻ Calcul dans le sens direct : Initialisation :̂x 1,MAP =argmaxx 1 ∈Ω∀n=2,..,N̂x n+1,MAP =ψ n+1 (̂x n,MAP )(II.32)p(x 1 ,y 1 )δ 1 (z 1 ) etLa méthode MAP a été programmée et comparée avec la méthode MPM dans lecadre des CMCouples [35]. Malgré leur différence les résultats obtenus, de manièrerelativement surprenante, se sont avérés d’être toujours très proches en qualité.35