Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETLa courbe représentant l’allure générale des probabilités en fonction des coefficientsa,b, dans le cas de deux classes, est donnée à la figure (IV.16)p(x=ω 1 ∣u)a=1;b=0a=1;b=1a=10;b=0−4−3−2−11 2 3 4uFigure IV.16 – Courbe de probabilité Logit à deux classesLa loip(x n ∣y 1∶N ) est obtenue à partir dep(u n ∣y 1∶N ) en utilisant l’approximation deLaplace (voir annexe B). En effet la loi p(x n ∣y 1∶N ) s’obtient par l’intégrale suivante :p(x n ∣y 1∶N )=∫ Rp(x n ∣u n )p(u n ∣y 1∶N )du nPar ailleurs, nous pouvons écrirep(x n ∣u n )p(u n ∣y 1∶N )=exp[log(p(x n ∣u n ))+log(p(u n ∣y 1∶N ))]=exp[f(u)], avec : p(u n ∣y 1∶N )∼N(m n ,σ 2 n) et m n ,σ 2 n calculés par l’algorithme RTS(I.3.3), donc3f(u)=a i u+b i −log( ∑exp(a j u+b j ))− (u−m n) 2j=1 2πσn2−log( √ 2πσ 2 n)La fonction f admet un développement de Taylor en u ∗ (tel que f ′ (u ∗ )=0) à l’ordre2 :f(u)≃ 1 2 f′′ (u ∗ )(u−u ∗ ) 2 +f(u ∗ )L’approximation de p(x n ∣y 1∶N ) est alors donnée par :Applications numériques√2πp(x n ∣y 1∶N )≃exp[f(u ∗ )]∣f”(u ∗ )∣Nous présentons ci-après les résultats des quatre expériences. Dans la premièreles données sont simulées par la nouvelle CMTM, qui sera notée NCMTM, et onconsidère trois segmentations : supervisée avec NCMTM, partiellement non superviséeavec NCMTM, et non supervisée avec le modèle classique CMC-BI. Dans ladeuxième expérience les données sont simulées par une CMC-BI et segmentées parNCMTM et CMC-BI. Dans la troisième série on considère un bruit corrélé, de manièreà ce que les données ne correspondent à aucun de deux modèles. Enfin, dans79