ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSNotons que dans une CCPM nous avons l’indépendance conditionnelle suivante :Z n+1∶N X 1∶n−1 ∣(Z n ,Y 1∶n−1 )(V.4)Par ailleurs, les transitions p(z n ∣z 1∶n−1 ) peuvent s’écrire :p(z n ∣z 1∶n−1 )=p(x n ∣x n−1 ,y 1∶n−1 )p(y n ∣x n ,x n−1 ,y 1∶n−1 )(V.5)Notons également que dans le cas général, aucun des processus X, Z n’est ainsinécessairement de Markov. Cependant, l’important est que la loi deX conditionnelleà Y est markovienne. Cette propriété fait l’objet de la proposition suivante.Proposition V.1 Soit Z =(X n ,Y n ) 1∶N une CCPM. Alors la distribution de Xconditionnelle à Y=y 1∶N est markovienne.Preuve : Nous avons :p(x n ∣x 1∶n−1 ,y) = ∑x n+1∶Np(x n ,x n+1∶N ∣x 1∶n−1 ,y)= ∑ x n+1∶Np(z)∑ xn∶Np(z)= ∑ x n+1∶Np(z 1∶n−1 )p(z n ,z n+1∶N ∣z 1∶n−1 )∑ xn∶Np(z 1∶n−1 )p(z n∶N ∣z 1∶n−1 )= ∑ x n+1∶Np(z 1∶n−1 )p(z n ∣z 1∶n−1 )p(z n+1∶N ∣z 1∶n )∑ xn∶Np(z 1∶n−1 )p(z n∶N ∣z 1∶n−1 )= p(z n ∣z 1∶n−1 ) ∑ x n+1∶Np(z n+1∶N ∣z 1∶n )∑ xn∶Np(z n∶N ∣z 1∶n−1 )D’après (V.5) on ap(z n ∣z 1∶n−1 )=p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 ) etp(z n∶N ∣z 1∶n−1 )=p(z n∶N ∣z n−1 ,y 1∶n−2 ),d’où :Par ailleurs :p(x n ∣x 1∶n−1 ,y) = p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 ) ∑ x n+1∶Np(z n+1∶N ∣z n ,y 1∶n−1 )∑ xn∶Np(z n∶N ∣z n−1 ,y 1∶n−2 )= p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 ) p(y n+1∶N∣z n ,y 1∶n−1 )p(y n∶N ∣z n−1 ,y 1∶n−2 )p(x n−1 ,y 1∶N ) = p(x n−1 ,y 1∶n−1 )p(y n∶N ∣x n−1 ,y 1∶n−1 )et en utilisant y n+1∶N x n−1 ∣z n ,y 1∶n−1 := p(x n−1 ,y 1∶n−1 )p(y n∶N ∣z n−1 ,y 1∶n−2 )102p(x n ,x n−1 ,y 1∶N ) = p(x n−1 ,y 1∶n−1 )p(x n ,y n∶N ∣x n−1 ,y 1∶n−1 )= p(x n−1 ,y 1∶n−1 )p(x n ,y n ∣x n−1 ,y 1∶n−1 )p(y n+1∶N ∣x n−1∶n ,y 1∶n )= p(x n−1 ,y 1∶n−1 )p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 )p(y n+1∶N ∣x n−1∶n ,y 1∶n )= p(x n−1 ,y 1∶n−1 )p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 )p(y n+1∶N ∣z n ,x n−1 ,y 1∶n−1 )= p(x n−1 ,y 1∶n−1 )p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 )p(y n+1∶N ∣z n ,y 1∶n−1 )
CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSpar identification nous obtenons :p(x n ∣x 1∶n−1 ,y 1∶N )=p(x n ∣x n−1 ,y 1∶N )(V.6)d’où le résultatLe fait que la loi a posteriori soit celle d’une chaîne de Markov permet d’utiliserles algorithmes classiques de restauration tels que le filtrage de Kalman ou l’algorithmede Baum-Welsh. Cependant, une condition supplémentaire liée à la mémoirelongue apparaît : les quantités p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 ) doivent être calculables. En effet,nous avons :p(x n ∣y 1∶N )∝̃α n (x n )̃β n (x n )(V.7)̃β n (x n )p(x n ∣x n−1 ,y 1∶N )=p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 )̃β n−1 (x n−1 )(V.8)avec les̃α n (x n )=p(x n ,y 1∶n ) et les̃β n (x n )=p(y n+1∶N ∣x n ,y 1∶n ) calculables par récurrence:̃α 1 (x 1 )=p(x 1 ,y 1 ) et∀n≥2, ̃α n (x n )=∑x n−1̃α n−1 (x n−1 )p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 )(V.9)̃β N (x N )=1 et∀n≤N−1, ̃βn (x n )=∑x n+1̃βn+1 (x n+1 )p(z n+1 ∣z n ,y 1∶n−1 )(V.10)Ainsi toutes quantités sont calculables dès que p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 ) apparaissant dans lecalcul des̃α n (x n ) et les̃β n (x n ) sont calculables. Dans le cas où Y est un processusgaussien conditionnellement à X, que nous précisons ci-après, ces quantités sontcalculables grâce aux propriétés des vecteurs gaussiens (voir Annexe.C). Dans lasuite nous nous intéressons au cas où p(y∣x) est la loi d’un processus gaussien àmémoire longue.V.2.2 Chaînes de Markov cachées par du bruit gaussien(CMC-BG)Plusieurs types de modèles ont été proposés par J. Lapuyade dans [70], quipermettent de prendre en considération les données à mémoire longue et d’appliquerles algorithmes de restauration des données manquantes. Parmi ces derniers nouspouvons citer le modèle de la chaîne de Markov cachée par du bruit gaussien (CMC-BG). Les hypothèses de ce modèle, dans lequel les calculs des quantités d’intérêtsont possibles avec une complexité linéaire en N sont les suivantes :Définition V.5 Soit une chaîne couple Z=(X n ,Y n ) 1∶N , dont les X n sont à valeursdansX={ω 1 ,...,ω K } et les Y n sont à valeurs dansY= R. Soient q i ,..,q K distributionsgaussiennes sur R N , chaqueq i définissantN−1 transitions q i (y 2 ∣y 1 ),..,q i (y N ∣y N−1 ).La chaîne Z est dite « chaîne de Markov cachée par du bruit gaussien » (CMC-BG)si sa loi vérifie :103
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IntroductionNotre travail se situe
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