ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESNous détaillons dans la suite les modèles graphiques orientés et non-orientés;pour plus de précisions, les lecteurs intéressés pourront également consulter le livrede Steffen L. Lauritzen [74], ou l’article de P. Smyth et al. [113].I.1.1 Modèle graphique non orientéSoitS={1,..,N} une partie de N, et soitE un sous ensemble deS×S. Nousappelons « graphe » le coupleG=(S,E). L’ensembleS sera nommé ensemble dessommets, etE l’ensemble des arêtes. Le grapheG sera nommé graphe non orientélorsque pour tout couple de sommets(u,v)∈S 2 , si(u,v)∈E alors(v,u)∈E. Soientu et v deux sommets deG. On dit qu’il y a une arête entre u et v dansG, et on noteu↔Gv, si(u,v)∈E. On note u↮Gv s’il n’y a pas d’arête.Pour tout sommet u deS, on note ν(u) l’ensemble des voisins de u, cad. l’ensembledes sommets v qui sont reliés par des arêtes à u :ν(u)={v∈S,u↔Gv}(I.2)Un sous-ensembleC deG est une clique si et seulement si :◻C est un singleton, ou◻∀(u,v) deux sommets deC, u et v sont mutuellement voisins (u∈ν(v) etv∈ν(u)).On dit qu’il y a un chemin entre u et v, s’il existe une suite des sommets u 1 ,..,u n ,telle que : u∈ν(u 1 ),..,u i−1 ∈ν(u i ),..,u n ∈ν(v). SoientA,B etC trois sous-ensemblesdeS deux à deux disjoints. On dit queBsépareAetC, si seulement si pour toutsommet a dansA, tout sommet c dansC, tout chemin entre a et c passe par oumoins un sommet b appartenant àB.Sur la figure (I.1),D={3,4} sépareB={1,2} etC={5,6}. Un chemin entre{1}∈B et{5}∈D passe par{3}∈D.Définition I.2 SoitG un graphe. Le processus aléatoire X=(X n ) 1∶N satisfait lapropriété de Markov « par paires » par rapport àG, si∀(u,v) couple de sommets telque u↮Gv, X u et X v sont indépendants conditionnellement à X t∉{u,v} :∀(u,v), si u↮Gv alors X u X v ∣X t∉{u,v}(I.3)Définition I.3 SoitG un graphe. Le processus aléatoire X=(X n ) 1∶N satisfait lapropriété de Markov « locale »par rapport àG, si pour tout sommet n∈{1,..,N}, X nest indépendant de ses non-voisins(X t ) t∉{n∪ν(n)} conditionnellement à(X t ) t∈ν(n) :∀n∈S X n (X t ) t∉{n∪ν(n)} ∣(X t ) t∈ν(n)(I.4)Définition I.4 SoitG un graphe. Le processus aléatoire X=(X n ) 1∶N satisfait lapropriété de Markov « globale »par rapport àG, si pour tout triplet(B,C,D) desous-ensembles deS, disjoints deux à deux, tels queDsépareB etC dansG, on a :X B X C ∣X D(I.5)On dit alors également queG est le graphe d’indépendance conditionnelle pour X.6
CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUESNotons, à titre d’exemple, que sur la figure (I.1),DsépareBetC :{X 1 ,X 2 }{X 5 ,X 6 }∣{X 3 ,X 4 }B D CX 1 X 3 X 5X 2 X 4 X 6Figure I.1 – Exemple d’un graphe d’indépendance conditionnelle non-orienté :{X 1 ,X 2 } et{X 5 ,X 6 } sont indépendants conditionnellement à{X 3 ,X 4 }Remarque I.1 Pour un graphe d’indépendance conditionnelle non-orientéG=(S,E),les trois propriétés de Markov (locale, par paire et globale) sont équivalentes. La démonstrationde l’équivalence est détaillée dans le livre de Steffen L. Lauritzen [74].Sachant que ces trois propriétés sont équivalentes, nous choisirons, lorsqu’il s’agirade graphe non orienté, d’utiliser l’une ou l’autre selon nos besoins dans chaque casd’étude. Par exemple, si nous nous intéressons à la loi p(x n ∣x t≠n ) dans le cas d’unechaîne de Markov la propriété de Markov locale nous sera la plus utile, et si nousnous intéressons à la factorisation de la loi p(x) nous pourrons utiliser la propriétéde Markov globale.I.1.2 Modèle graphique orientéOn appelle graphe orienté et on note → G , tout graphe dont les arêtes sont définiespar leur origine et leur extrémité, c’est-à-dire dont les arêtes sont orientées, muniesd’un sens. Une arête d’un graphe orienté est appelée arc. On note par → E ⊂S 2l’ensemble des arcs.Soit → G=(S, → E)un graphe orienté, et soit(u,v)∈S 2 . On dit que u est un parentde v s’il existe un arc d’origine u et d’extrémité v, ce que l’on note par u→ →Gv.Un graphe orienté → G est dit acyclique si pour tout u un sommet deS il n’existeaucun chemin (cycle) orienté qui part de u et revient à u. Un sommet v deS est undescendant d’un sommet u deS s’il existe un arc d’origine u et d’extrémité finalev ; sinon v est un non-descendant de u. On note par pa→ G(v) l’ensemble des parentsde v et par nd→ G(v) l’ensemble des non-descendants de v.Définition I.5 Soit → G un graphe orienté acyclique. Le processus aléatoire X satisfaitla propriété de Markov locale orientée par rapport à → G , si pour tout sommet u7
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Bibliographie[1] C. Andrieu, M. Dav
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BIBLIOGRAPHIE[31] O. L. V. Costa, M
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BIBLIOGRAPHIE[66] P. Lanchantin, J.
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BIBLIOGRAPHIE[99] W. Pieczynski and
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