Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE I. MODÈLES DE MARKOV CLASSIQUES(a)(b)Figure I.13 – (a) Estimation par filtrage de Kalman (b) estimation par lissage RTSNous pouvons remarquer que l’estimation de la trajectoirêx 1∶N par le lissage RTS(I.13).b est plus proche du signal caché que son estimation par le filtrage de Kalman(I.13).a. Bien entendu, cela est dû au fait que le lissage prend en considération toutesles observations y 1∶N pour estimer x n tandis que le filtrage prend en considérationque les observations de 1 jusqu’a n i.e y 1∶n .Considérons une CMC-BI générale, qui peut se mettre sous la forme du systèmesuivant :(E ′ )∶{ X n+1 =f(X n ,ǫ n )(I.46)Y n =g(X n ,ξ n )avec les fonctions f et g connues. Dans ce cas « non linéaire » et « non gaussien », ilest possible de proposer une extension du filtre de Kalman, qui est le filtre de Kalman« étendu » (ou « linéarisé »), qui consiste à linéariser le système en remplaçantles equations par leurs développements de Taylor. Pour tout n dans[1,..,N], ondéveloppe les equations du système (I.46) à l’ordre 1 au point X 0 n, et nous obtenonsle système sous sa forme linéarisée (I.47), en suite on peut appliquer les mêmesalgorithmes déjà présentés sur le nouveau système qui est linéaire en x.(E”)∶{ X n+1 =f(Xn,ǫ 0 n )+(X n −Xn) 0 ∂f∂x (X0 n,ǫ n )Y n =g(Xn,ξ 0 n )+(X n −Xn) 0 ∂g∂x (X0 n,ξ n )(I.47)Le filtrage particulaire, très utilisé actuellement, est une autre alternative pour traiterle système non linéaire non gaussien ci-dessus.I.4 ConclusionDans ce chapitre, nous avons tout d’abord rappelé diverses définitions classiquesde la modélisation graphique. En particulier, nous avons brièvement discuté de relationsentre les graphes orientés et les graphes non orientés. Ce type de modélisationpermet de décrire d’une manière visuelle les relations d’indépendance conditionnelleentre les variables aléatoires X n d’un processus X observé sur un réseauS={1,..,N}. En second lieu, nous avons utilisé ces modèles pour définir les modèlesde chaînes de Markov cachées, dans les deux cas des données cachées discrètes etcontinues. Dans ces deux cas nous avons détaillé des algorithmes d’inférence bayésiennepermettant de calculer la loi a posteriori p(x n ∣y 1∶N ) et p(x n+1 ∣x n ,y 1∶N ). Pour22