Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE V. CHAÎNES CONDITIONNELLEMENT LINÉAIRES À SAUTSMARKOVIENSpar identification nous obtenons :p(x n ∣x 1∶n−1 ,y 1∶N )=p(x n ∣x n−1 ,y 1∶N )(V.6)d’où le résultatLe fait que la loi a posteriori soit celle d’une chaîne de Markov permet d’utiliserles algorithmes classiques de restauration tels que le filtrage de Kalman ou l’algorithmede Baum-Welsh. Cependant, une condition supplémentaire liée à la mémoirelongue apparaît : les quantités p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 ) doivent être calculables. En effet,nous avons :p(x n ∣y 1∶N )∝̃α n (x n )̃β n (x n )(V.7)̃β n (x n )p(x n ∣x n−1 ,y 1∶N )=p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 )̃β n−1 (x n−1 )(V.8)avec les̃α n (x n )=p(x n ,y 1∶n ) et les̃β n (x n )=p(y n+1∶N ∣x n ,y 1∶n ) calculables par récurrence:̃α 1 (x 1 )=p(x 1 ,y 1 ) et∀n≥2, ̃α n (x n )=∑x n−1̃α n−1 (x n−1 )p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 )(V.9)̃β N (x N )=1 et∀n≤N−1, ̃βn (x n )=∑x n+1̃βn+1 (x n+1 )p(z n+1 ∣z n ,y 1∶n−1 )(V.10)Ainsi toutes quantités sont calculables dès que p(z n ∣z n−1 ,y 1∶n−2 ) apparaissant dans lecalcul des̃α n (x n ) et les̃β n (x n ) sont calculables. Dans le cas où Y est un processusgaussien conditionnellement à X, que nous précisons ci-après, ces quantités sontcalculables grâce aux propriétés des vecteurs gaussiens (voir Annexe.C). Dans lasuite nous nous intéressons au cas où p(y∣x) est la loi d’un processus gaussien àmémoire longue.V.2.2 Chaînes de Markov cachées par du bruit gaussien(CMC-BG)Plusieurs types de modèles ont été proposés par J. Lapuyade dans [70], quipermettent de prendre en considération les données à mémoire longue et d’appliquerles algorithmes de restauration des données manquantes. Parmi ces derniers nouspouvons citer le modèle de la chaîne de Markov cachée par du bruit gaussien (CMC-BG). Les hypothèses de ce modèle, dans lequel les calculs des quantités d’intérêtsont possibles avec une complexité linéaire en N sont les suivantes :Définition V.5 Soit une chaîne couple Z=(X n ,Y n ) 1∶N , dont les X n sont à valeursdansX={ω 1 ,...,ω K } et les Y n sont à valeurs dansY= R. Soient q i ,..,q K distributionsgaussiennes sur R N , chaqueq i définissantN−1 transitions q i (y 2 ∣y 1 ),..,q i (y N ∣y N−1 ).La chaîne Z est dite « chaîne de Markov cachée par du bruit gaussien » (CMC-BG)si sa loi vérifie :103