ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETMéthode directeLa méthode directe décrite par Rue [106] utilise les propriétés de la matrice decovariance Q, qui est une matrice symétrique définie positive, et les propriétés desvecteurs gaussiens. En utilisant la factorisation de Cholesky, il existe une matrice Ltriangulaire inférieure telle que :Q=LL T .(IV.59)La transformation d’un vecteur Gaussien centré réduit I par une transformation detype x↦Ax+B est un vecteur Gaussien de moyenne B et de matrice de covarianceAA T . En utilisant ces deux propriétés, une transformation pour le vecteur U ∼N N (µ,Σ), U↦ L T (U−µ)=Z U permet d’avoir un vecteur Gaussien centré réduitZ U ∼N N (0 N ,I N×N ). En effet :E[Z U ]=E[L T (U−µ)]=L T E[U−µ]=0V[Z U ]=V[L T (U−µ)]=L T Σ U L=L T Q −1 L=I N×NDonc pour simuler U, il suffit de simuler Z U et de résoudre l’équation :Z U =L T (U−µ)(IV.60)Supposons, pour simplifier, que µ=0 N . La résolution se fait d’une manière itérative :U N = Z NL N,NNous avons la propriété suivante :Propriété IV.2 (Cholesky) :U n = Z n− 1 N∑ L j,n U j ∀n=N−1,..,1L n,n L n,n j
CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLET◻ Pour c=1etL 1,1 = √ Q 1,1L k,1 = Q 1,kL 1,1k=2,...,N◻ On suppose la colonne c=i−1 connue. La colonne c=i est donnée par◇L i,i = Qi,i −i−1∑L 2 i,kk=1◇L j,i = Q i,j−∑ i−1k=1L i,k L j,kL i,iNotons qu’il existe des logiciels, comme ATLAS ou LAPACK, qui utilisent cettefactorisation et fournissent des fonctions rapides et exactes pour simuler des vecteursaléatoires et pour résoudre des systèmes linéaires de grande taille (N≥10 6 ).Simulation parallèleLa simulation parallèle consiste à subdiviser la grilleS en plusieurs sous-ensemblesdeux à deux disjoints et tels que les restrictions du processus U=(U n ) 1∶N à certainespaires de ces sous-ensembles soient indépendantes conditionnellement au reste duchamp. Par exemple, soient trois sous ensemblesA⊂S,B⊂S etC⊂S :A∩B=∅,A∩C=∅,B∩C=∅A∪B∪C=S(IV.62)(IV.63)(voir la figure (IV.24)). Les processus U ∣A et U ∣C sont indépendants conditionnellementà U ∣B :U ∣A U ∣C ∣U ∣B(IV.64)Nous commençons par simuler U ∣B , et comme U ∣A et U ∣C sont indépendants conditionnellementà U ∣B , nous pouvons simuler parallèlement U ∣A ∣U ∣B et U ∣C ∣U ∣B par laméthode directe présentée précédemment.A B CFigure IV.24 – S=A∪B∪C89
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École Doctorale SMPCThèse présen
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ABSTRACTis to extend these models t
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Table des matièresRésumé . . . .
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NotationsSymbolesN Nombre des obser
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IntroductionNotre travail se situe
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INTRODUCTIONgénéral que le modèl
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