ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLET0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0(a)(b)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0(c)Figure IV.27 – Simulation et restauration d’un champ gaussien markovienLa loi p(y n ∣u n ) est une gaussienne de moyenne u n et de variance σ 2 = 1τ 2 ωavec lesω sont connu égale à 1 et τ 2 = 100 . Les résultats de la simulation sont représentéssur la figure (IV.27) (a) champ U et (b) champ Y . L’estimation de la trajectoireu 1∶N est représenté par (c) de la même figure.Le traitement de champs gaussiens markoviens qui ont une matrice de covariancegénérale nécessite des ressources informatiques très importantes pour le calcul et lestockage des résultats pour cela nous avons traité un cas ou N=100 c’est-à-dire uneimage de taille 10×10.IV.3.4 Champ Gaussien-Markovien tripletDans cette partie, nous présentons un nouveau modèle semblable à celui quenous avons présenté dans le cas des chaînes. Soit T =(X,U,Y) un champ tripletdéfini sur une grille S. On suppose que pour tout n∈{1,..,N}, la variable aléatoireT n =(X n ,U n ,Y n ) est à valeur dans l’espace produitT =X×U×Y. Pour simplifier,on utilisera parfois la notation V pour le couple des champs cachés(X,U).94
CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETPrésentation du modèleSoit T=(T n ) 1∶N un champ Markovien de graphe d’indépendance conditionnellereprésenté par le graphe sur la figure (IV.28).y 1 y 2 y 3u 1 u 2 u 3y 4 x 1 y 5 x 2 y 6 x 3u 4 u 5 u 6y 7 x 4 y 8 x 5 y 9 x 6u 7 u 8 u 9x 7 x 8 x 9Figure IV.28 – Graphe d’indépendance conditionnelle du champ TLa loi de notre modèle vérifie les propriétés suivantes :Propriété IV.3 Les propriétés du modèle sont les suivantes :a) U est un champ gaussien-markovien :p(u)=N∏n=1p(u n ∣u t ,t∈ν(n))(IV.77)b) X et Y sont indépendants conditionnellement à UXY∣U(IV.78)c) Les Y s sont indépendants conditionnellement à U et Y s U l≠s ∣U sp(y∣u)=N∏n=1p(y n ∣u)=N∏n=1p(y n ∣u n )(IV.79)d) Les X n sont indépendants conditionnellement à U et X n U t≠n ∣U np(x∣u)=N∏n=1p(x n ∣u)=N∏n=1p(x n ∣u n )(IV.80)Inférence BayésienneLe but de ce modèle est de trouver X sachant Y pour cela nous utilisons leprocessus auxiliaire U. La loi du couple V=(X,U) sachant Y s’écrit comme suit :p(x,u∣y)=p(u∣y)p(x∣u,y)(IV.81)95
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ABSTRACTis to extend these models t
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NotationsSymbolesN Nombre des obser
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IntroductionNotre travail se situe
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INTRODUCTIONgénéral que le modèl
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