Modèles de Markov triplets en restauration des signaux

CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETFigure IV.23 – GrilleSRappelons les définitions classiques ainsi que l’important théorème d’Hammersley-Clifford. Afin d’introduire la markovianité nous considérons un champ U=(U n ) 1∶Ndiscret. Le cas continu est traité dans la sous-section suivante directement dans lecas gaussien.Définition IV.5 Soit U=(U n ) 1∶N un champ aléatoire, chaque U n prenant ses valeursdans un espaceU.U est dit « champ de Markov relativement à un système de voisinage ν » si etseulement si sa loi vérifie :∀1≤n≤N, p(u n ∣u t ,t≠n)=p(u n ∣u t∈ν(n) )(IV.49)Ainsi la loi de U n en un site n conditionnellement à toutes les autres variablesdu champ ne dépend que des variables sur son voisinage ν(n).Définition IV.6 U=(U n ) 1∶N est dit « champ de Gibbs relativement à un systèmede voisinage ν » si et seulement si sa loi vérifie :p(u)= 1 Z exp[−U(u)](IV.50)avecC l’ensemble des cliques c définie par le système de voisinage ν et U(u)=∑ c∈C φ c (u c ). U est dite « fonction d’énergie », les fonctions φ c sont dites « fonctionspotentiel », et Z est la constante de normalisation Z=∫ u∈U N exp[−U(u)]. Laprobabilité p(u) est appelée "mesure de Gibbs".Un champ de Gibbs est ainsi caractérisé par sa loi globale dite mesure de Gibbs.Le théorème de Hammersley-Clifford suivant donne les conditions d’équivalenceentre un champ de Markov et un champ de Gibbs :Théorème IV.1 Hammersley-Clifford :SoitS un réseau muni d’un système de voisinage ν, et soitC l’ensemble des cliquesdéfini par ν.U=(U n ) 1∶N est un champ de Markov relativement à ν vérifiant∀u∈U N p(u)>0si et seulement si U est un champ de Gibbs avec la fonction d’énergie U(u)=∑ c∈C φ c (u c ).85