ModÃ¨les de Markov triplets en restauration des signaux

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CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETy 1 y 2 y 3x 1 x 2 x 3u 1 u 2 u 3Figure IV.1 – Graphe d’indépendance conditionnelle d’une chaîne de Markov cachéeM-stationnaire à bruit indépendant (CMC-MS-BI)Les paramètres d’une CMC-MS-BI à bruit indépendant sont classiquement regroupésen deux ensembles : le premier est celui de la loi du p(y n ∣x n ) et le deuxièmecelui de la chaîne V=(X,U). Nous avons détaillé dans le chapitre (III) comment estimerle premier ensemble de paramètres. Pour le deuxième ensemble nous détaillonsle cas oùV est une chaîne stationnaire réversible (p(v n =a,v n+1 =b)=p(v n =b,v n+1 =a)) et que la loip(v n ,v n+1 ) se développe comme dans l’équation (IV.8) alors les paramètresà estimer sont : p(u n+1 ∣u n ) et p(x n+1 ∣u n+1 ,x n ). Ces paramètres sont obtenusà partir de la loi p(x n+1 ,u n+1 ,x n ,u n ) que nous pouvons les estimer avec l’algorithmeICE (III.2) en se donnant un estimateur ̂p à partir des données complètes. Unenouvelle fois, nous choisissons comme estimateur l’estimateur empirique donné par :N−11̂p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ) = ∑2(N−1) n=1[ 1(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l )+ 1(x n+1 =ω j ,u n+1 =λ l ,x n =ω i ,u n =λ k )]A chaque itération q+ 1 de l’algorithme ICE et sachant la valeur ancienne desparamètres θ q et les observations y 1∶N , l’espérance mathématique de cet estimateurest calculable et est donnée par :̂p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ,θ q+1 N−11) = ∑2(N−1) n=1[ p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ∣θ q ,y 1∶N )cela donne en particulier :+ p(x n+1 =ω j ,u n+1 =λ l ,x n =ω i ,u n =λ k ∣θ q ,y 1∶N )]p(u n+1 =λ k ∣u n =λ l ,θ q+1 )= ∑ i,ĵp(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ,θ q+1 )∑ i,j,k̂p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ,θ q+1 ) (IV.9)p(x n+1 =ω i ∣u n+1 =λ k ,x n =ω j ,θ q+1 )= ∑ l̂p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ,θ q+1 )∑ i,l̂p(x n+1 =ω i ,u n+1 =λ k ,x n =ω j ,u n =λ l ,θ q+1 )(IV.10)60
CHAPITRE IV. MODÈLE DE MARKOV TRIPLETNous procédons dans la suite à une série d’expériences pour étudier le modèlede la chaîne de Markov cachée M-stationnaire et le comparer avec le modèle de lachaîne de Markov cachée.Nous commençons par simuler une chaîne M-stationnaire à bruit gaussien indépendantà deux classes, deux stationnarités, et de taille N= 256×256 (K= 2,M= 2). La loi du couple(X,U) est donnée par (IV.8). Nous commençons par simulerle processus U de loi initiale p(u 1 )= 1 2 et de matrice de transitionM=(p i,j)avec p i,j =p(u n+1 =i∣u n =j) :M=(0.999 0.0010.001 0.999 ) (IV.11)Conditionnellement à U les matrices de transitions de X sont données parM 1 etM 2 qui ont respectivement comme coefficients p(x n+ ∣u n+1 = u 1 ,x n ) et p(x n+ ∣u n+1 =u 2 ,x n ) :M 1 =(0.99 0.010.01 0.99 ) etM 2=(0.7 0.30.3 0.7 ) (IV.12)Dans un premier exemple, conditionnellement à X, les Y n sont des gaussiennes demoyennes m 1 = 0 si x n = ω 1 , m 2 = 2 si x n = ω 2 et de même variance σ 2 = 1. Pourvisualiser les processus simulés, présentés à la figure (IV.2), sous forme d’imagesnous utilisons la transformation d’Hilbert-Peano (I.5).(a) (b) (c)Figure IV.2 – Premier exemple de simulation d’une chaîne M-stationnaire à bruitindépendant. (a) : réalisation x 1∶N ; (b) : réalisation u 1∶N (c) : réalisation y 1∶N .Dans le second exemple, on fait augmenter le bruit, au lieu de m 2 = 2 pour lesecond classe nous choisissons m 2 =1 et nous gardons les valeurs des autres variablessans modifications. Les réalisations des processus simulés sont représentées sur lafigure (IV.3).61
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École Doctorale SMPCThèse présen
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ABSTRACTis to extend these models t
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Bibliographie[1] C. Andrieu, M. Dav
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BIBLIOGRAPHIE[31] O. L. V. Costa, M
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BIBLIOGRAPHIE[66] P. Lanchantin, J.
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BIBLIOGRAPHIE[99] W. Pieczynski and
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