Kleines Lehrbuch der Astronomie und Astrophysik - Astronomie.de

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Inneres Sonnensystem
Die Aufgabe der Seismologie ist es demnach, aus den Laufzeitkurven, die von den verschiedensten
seismologischen Stationen auf der Erde erhalten werden, die Funktionen p ( r),
g ( r)
und ρ (r)
derart
zu bestimmen, das eine Dichte- und Druckverteilung heraus kommt, die mit der Erdmasse und ihrem
mittleren Trägheitsmoment verträglich ist. Da die seismischen Geschwindigkeiten von zwei elastischen
Konstanten abhängen, erscheint die Bestimmung der Dichteverteilung aus Laufzeitkurven auf dem
ersten Blick ein nicht zu lösendes Problem zu sein. Nun gilt aber im Fall des hydrostatischen
Gleichgewichts für die Druckverteilung im Erdinnern
dp
dr
= −ρ
g
[1.4]
(g Schwerebeschleunigung)
und für die Dichteänderung
d ∂ dp
=
dr ∂p
dr
ρ ρ
[1.5]
Erinnert man sich noch, daß der Kompressionsmodul κ der Quotient aus der auf einen Körper
wirkenden Druckänderung dp und der daraus resultierenden Dichteänderung d ρ , multipliziert mit der
Dichte ρ ist, dann kann man mit (1.2) und (1.4) schreiben
2 4 2
cP − cS
3
=
κ ∂p
= Φ =
ρ ∂ρ
[1.6]
wobei man Φ als „seismischen Parameter“ bezeichnet. Kombiniert man (1.6) mit (1.4), dann erhält
man die Adams-Williamson-Gleichung:
( r) G M ( r)
dρ ( r) ρ(
r) g( r)
ρ
= − = −
dr Φ( r) Φ(
r) r
mit
( )
dM r
d r
= 4π
ρ
( )
2
r r
2
[1.7]
Diese Gleichung kann für den Fall, daß die Dichte eine stetige Funktion ist, integriert werden. Für die
Erde trifft das in etwa für den oberen Mantel unterhalb der Lithosphäre, den unteren Mantel sowie den
äußeren und inneren Erdkern zu. Auf der Grundlage dieser Gleichung wurden seit den 50ziger Jahre
des vorigen Jahrhunderts aus den immer genauer bestimmten Geschwindigkeiten seismischer Wellen
Dichteprofile des Erdinneren berechnet. Seit etwa einem Jahrzehnt liegen auch sehr detaillierte
Eigenschwingungsmodelle der Erde vor, aus denen sich unabhängig von (1.7) die Funktion ρ ( r)
bestimmen läßt. Außerdem. lassen sich gerade aus den meßbaren Eigenschwingungsmoden die
Bereiche im Erdinneren nachweisen, in denen Konvektion stattfindet. Bemerkenswert ist, daß beide
Verfahren ungefähr die gleichen Dichtefunktionen (letztere mit besserer dreidimensionaler räumlicher
Auflösung) liefern.