Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

KAPITEL 5
ǫ-Entwicklung
In diesem Kapitel geht es um asymptotische Entwicklungen in ǫ = d ∗ − d,
wobei d ∗ eine der kritischen Dimensionen d ∗ = 2l∗ , l l ∗−1 ∗ ∈ N ≥2 , ist. Die
ǫ-Entwicklung aus [PPW94] wird auf O(N)-invariante N-Komponenten-
Modelle verallgemeinert. Man rechnet im UV-Bild, da der Fixpunkt, von
dem sich die nichttrivialen Fixpunkte abspalten, dann die einfache Form
Z UV = 1 hat.
Für die ǫ-Entwicklung nimmt man an, daß die Entwicklungskoeffizienten eines
Fixpunktes z l zumindestens asymptotisch in ǫ entwickelt werden können:
z l =
∞∑
k=0
z (k)
l
ǫ k .
Um es noch einmal deutlich zu sagen: Die Summen sind nicht im Sinne
holomorpher Funktionen in ǫ zu verstehen. Dies kann schon deshalb nicht
sein, weil der entwickelte Fixpunkt für d > d ∗ , also ǫ < 0, nicht existiert.
Oberhalb der kritischen Dimension d ∗ müßte die ǫ-Entwicklung also identisch
den UV-Fixpunkt ergeben, d.h. z l = δ l,0 . Wie man durch den Identitätssatz
aus der Theorie der holomorphen Funktionen weiß, müßte sie dann auch
für ǫ > 0 den UV-Fixpunkt ergeben. Man beachte auch im Hinblick auf die