Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

6.1. Die RG-Transformation H für den irrelevanten Anteil 107
Zu z ∈ R ∞ nennt man Pz den relevanten“ Anteil von z und (1 − P)z den
”
irrelevanten“ Anteil von z. Diese Namen sind dadurch begründet, daß der
”
irrelevante Anteil unter der Iteration der RG-Transformation gegen einen
Fixpunkt geht, wenn nur M groß genug ist, während für den relevanten
Anteil Abschätzungen durchzuführen sind, um die Existenz eines Fixpunktes
zu zeigen.
im HT-Bild mo-
Man führt folgende Norm ein, die durch die Norm auf D R
tiviert ist.
Definition 2 Sei z ∈ R ∞ und ρ ∈ R >1 . Dann ist ‖z‖ ρ definiert durch
‖z‖ ρ := sup
k∈N 0
(k!ρ k |z k |) .
Ferner ist B ρ := {z ∈ R ∞ : ‖z‖ ρ < ∞}.
Auf B ρ definiert ‖ · ‖ ρ eine Norm, und damit ist (B ρ , ‖ · ‖ ρ ) ein Banachraum.
Ist ρ < ρ ′ , so gilt für die zugehörigen Normen
‖z‖ ρ ≤ ‖z‖ ρ ′ .
Daraus erhält man die Inklusionsbeziehung B ρ ′ ⊆ B ρ für die Banachräume.
Für jedes z ∈ B ρ gilt ferner für die einzelnen Koeffizienten z k
|z k | ≤ ‖z‖ ρ
1
k!ρ k für alle k ∈ N 0 .
Mit Hilfe dieser Begriffe erhält man die RG-Transformationen für den relevanten
und für den irrelevanten Anteil, indem man P bzw. 1 − P auf die
RG-Transformationsgleichung
z ′ := R (z) = z × z
anwendet. Zur Abkürzung werden die Bezeichnungen Pz = z rel und (1 −
P)z = r verwendet. Sei also z = z rel + r und z ′ = z rel ′ + r′ . Mit diesen
Bezeichnungen lautet die RG-Gleichung
z ′ rel + r ′ = z × z = z rel × z rel + 2z rel × r + r × r . (3)
Damit erhält man zu einem vorgegebenen relevanten Teil durch Anwendung
von 1 − P auf diese Gleichung eine RG-Transformation für den irrelevanten
Anteil.