Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

106 Kapitel 6. Die Betafunktion
den ursprünglichen sind, so daß A| B2 und (A| B1 ) −1 je Kontraktionen sind.
(z.B. Lemma 12.1 bei [CE78])
Es stellt sich heraus, daß man allgemeiner sogar den RG-Operator mit Hilfe
von Projektionsoperatoren in die Form R = R 1 + R 2 zerlegen kann, so
daß wieder R 2 auf einer Teilmenge des zugrundeliegenden Banachraumes
eine Kontraktion ist und R 1 auf einem endlichdimensionalen Unterraum
operiert. Man kann dann mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes die Existenz
eines Fixpunktes für R 2 zeigen. Hat man die Existenz eines solchen
Fixpunktes gezeigt, bleibt die Aufgabe, einen Fixpunkt für R 1 zu finden. Die
Betafunktion hängt eng mit dem Operator R 1 zusammen. Um dies genau
zu definieren, muß man sich zunächst einige Begriffe verschaffen.
Es wird die algebraische RG-Transformation nach F12 aus Kapitel 2 benutzt,
d.h. man betrachtet die Entwicklungskoeffizienten z k einer Funktion Z als
Element z = (z 0 , z 1 , z 2 , . . .) aus R ∞ . Die algebraische RG-Transformation ist
Rz = z × z. (1)
Das Produkt ist definiert durch die Gleichungen für die Komponenten
(Rz) k = (z × z) k = β 2k
∞
∑
n,m=0
C nm
k (N)z n z m , für alle k ∈ N 0 . (2)
6.1 Die RG-Transformation H für den irrelevanten Anteil
Definition 1 (Projektionsoperator, Einbettungsoperator) Für M ∈
N ist der Projektionsoperator P M = P : R ∞ → R ∞ definiert durch
R ∞ ∋ (z 0 , z 1 , z 2 , . . .) ↦→ Pz := (z 0 , . . . , z M−1 , 0, . . .) ∈ R ∞ .
Zusätzlich ist der Operator ˆP M = ˆP : R ∞ → R M definiert durch
R ∞ ∋ (z 0 , z 1 , z 2 , . . .) ↦→ ˆPz := (z 0 , . . . , z M−1 ) ∈ R M .
In die umgekehrte Richtung bildet der Einbettungsoperator Z = Z rel : R M →
R ∞ ab. Er ist definiert durch
(z 0 , . . . , z M−1 ) ↦→ Z rel (z 0 , . . . , z M−1 ) := (z 0 , . . . , z M−1 , 0, . . .) .