Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

48 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
Gleichung als Hammerstein-Integralgleichung bezeichnet. [Dei85][§12] Auch
Hankel-Transformationen sind von dieser Gestalt, nur hat man in ihnen üblicherweise
die (nicht modifizierten) Besselfunktionen J κ . Diese Transformationen
treten bei der Fouriertransformation rotationssymmetrischer Funktionen
auf.
2.8 Eigenwerte der Linearisierung und Bifurkationen
Die Diskussion der Eigenfunktionen und Eigenwerte der linearisierten RG-
Gleichung soll nun nachgeholt werden. Die Eigenfunktionen am UV-Fixpunkt
sind im UV-Bild Polynome. Daher muß man eine größere Menge von Funktionen
betrachten, als den Definitionsbereich des Operators.
2.8.1 Die Eigenwerte am UV-Fixpunkt
Zunächst untersucht man die Eigenfunktionen am UV-Fixpunkt, ohne sich
auf O(N)-invariante Funktionen zu beschränken.
F14 (Eigenfunktionen und Eigenwerte von A(Z UV ))
Sei µ ∈ N N 0 und n = |µ|. Im UV-Bild ist dann das Hermitepolynom H µ
(γ)
eine Eigenfunktion von A(Z UV ) zum Eigenwert ξ n = 2β n = 2 1+n(2−d 2d ) . Die
Hermitepolynome bilden ein vollständiges System von Eigenfunktionen.
Beweis: Aus der Definition des Operators und Korollar A.4 erhält man
( ) ∫
A(Z UV )H µ
(γ) (y) = 2 dµ γ(1−β 2 )(x)H µ (γ) (x + βy) = 2H (γ−γ(1−β2 ))
µ (βy) .
Diese in Gleichung (7) auf Seite 28 definierten Hermitepolynome H µ (γ) bilden
eine Basis des Raumes L 2 (R N , µ γ ), daher hat mit ihnen wirklich alle
Eigenfunktionen gefunden. Nach Korollar 2 in Anhang A gilt nun noch
H (β2 γ)
µ (βy) = β |µ| H µ (γ) (y), also stimmt die Behauptung. ⊳
Korollar 3 (Die O(N)-symmetrischen Eigenfunktionen von A(Z UV ))
Im UV-Bild sind die O(N)-symmetrischen Eigenfunktionen von A(Z UV ) die
Hermitepolynome h (γ)
n , und die zugehörigen Eigenwerte sind λ n = 2β 2n =
2 1+n2−d d , n ∈ N 0 .