Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

102 Kapitel 5. ǫ-Entwicklung
Zusammen mit den numerischen Ergebnissen aus Kapitel 3 legt das die Vermutung
nahe, daß die ǫ-Entwicklung für N → ∞ konvergiert und die Reihe
für ν durch die Reihenentwicklung von 1 1
gegeben ist. Daher kann es
2 1−ǫ/2
sein, daß die Existenz des zugehörigen Fixpunktes nicht bei d = 4 endet.
Für N = −2 ist die entsprechende Vermutung, daß die ǫ-Entwicklung des
kritschen Exponenten trivial ist und nur aus dem nullten Term der Reihe
besteht. Es könnte also auch für N = −2 zutreffen, daß die ǫ-Entwicklung
für die Fixpunkte konvergiert und die Existenz des Fixpunktes nicht bei
d = 4 endet. Dazu sind aber noch weitere Untersuchungen notwendig.
Um ν numerisch aus der asymptotischen λ 1 -Reihe zu berechnen, wird erst
λ 1 in der entsprechenden Ordnung berechnet und aus diesem Ergebnis der
kritische Exponent ν durch ν = log 2
dlog λ 1
. Damit umgeht man die Entwicklung
des Logarithmus, dessen Reihe nur sehr schlecht konvergiert. Man beachte
aber, daß dieses Vorgehen für den Spezialfall N = −2 jedoch immer etwas
schlechtere Ergebnisse liefert als die Aufsummation der ν-Reihe. Letztere
liefert in den bekannten Ordnungen immer das Ergebnis 1 , das vermutlich
2
exakt ist, während das erste Verfahren leicht abweichende Werte liefert. Die
Abweichung wird mit zunehmender Ordnung aber kleiner.
Die Ergebnisse dieser Rechnung stimmen mit den numerischen Werten in
Kapitel 3 für kleine ǫ gut überein. Für N = 1 bekommt man die gleichen
Werte wie in [PPW94]. Als Beispiel sind in Tabelle 5.1 die Werte für N = 0
aufgeführt.
Bessere Ergebnisse erhält man mit Hilfe der Borel-Summation der Reihe für
λ 1 . Nach Aufsummation der Borel-Reihe
B(ǫ) =
Ordnung
∑
k=0
λ (k)
1
k! ǫk
bis zur berechneten Ordnung, wird eine diagonale Padé-Approximation Q der
Summe berechnet und dann das Ergebnis numerisch Borel-transformiert.
λ 1 (ǫ) =
∫ ∞
0
Q(tǫ) exp(−t)dt
Man setzt dabei voraus, daß die Reihen in ǫ Borel-summierbar sind. Eine
Tabelle mit den Werten der Borel-Padé-Approximation (BP-Approximation)
für N ∈ {−2, −1, . . . , 20} und d ∈ {3.9, 3.8, . . . , 3.0} befindet sich in Anhang
C. Wie auch für die naiv summierte Reihe ist die Übereinstimmung mit den