Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

84 Kapitel 4. Asymptotisches Verhalten für große N
und
∂f
∂q (s, q) = q σ − 1 q − 2v′ (s 2 + q 2 + βsx + β 2 x 2 )2q .
Dabei ist v ′ die Ableitung von v.
Im Gegensatz zur hierarchischen RG-Transformation nach Dyson, welche in
[GK83] von Gawȩdzki und Kupiainen auf das asymptotische Verhalten
für große N untersucht wurde, kann man hier nicht sofort eine Lösung einer
der Gleichungen angeben.
Dysons hierarchische RG-Transformation ist (für L d = 2) eine Faltung der
Form
∫
(R D Z)(x) = dµ σ (y)Z(βx + y)Z(βx − y) .
Nach Übergang zur neuen Funktion ξ = exp(−w) wie oben beschrieben,
bekommt man die Bestimmungsgleichungen der Stelle, an der die steepest
descent-Auswertung zu erfolgen hat:
∂f
(s, q) =
s ∂s
σ − w′ (s 2 + q 2 + βsx + β 2 x 2 )(2s + βx)
−w ′ (s 2 + q 2 − βsx + β 2 x 2 )(2s − βx) ! = 0
und
∂f
∂q (s, q) = q σ − 1 q − w′ (s 2 + q 2 + βsx + β 2 x 2 )2q
−w ′ (s 2 + q 2 − βsx + β 2 x 2 )2q ! = 0 .
Eine Lösung der ersten Gleichung kann man mit s 0 = 0 sofort angeben. Mit
dieser Lösung erhält man eine asymptotische RG-Gleichung für die Umkehrfunktion
der Ableitung des Potentials. Zusammen mit der Fixpunktgleichung
kann man sie als meromorphe Funktion bestimmen. Diese invertiert man
dann auf einem geeigneten Bereich und erhält den Fixpunkt.
Doch zurück zur ursprünglichen RG-Transformation. Man kann also nicht sofort
eine Lösung der beiden Gleichungen angeben. Zur Bestimmung der drei
unbekannten Größen s 0 , q 0 und v ′ (· · ·) muß die dritte Gleichung Rζ = ζ
mit hinzunehmen. Dann hat man implizite Gleichungen für s 0 und q 0 . Man