Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

26 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
Seien ferner g, h ∈ D R . Dann gilt
Nun ist ‖f • g‖ ≤ ‖f‖‖g‖. Also
R (g + h) = g • g + h • h + 2g • h .
‖R (g + h) − Rg‖ ≤ ‖h‖(‖h‖ + 2‖g‖) ‖h‖→0
−→ 0 .
⊳
2.1 Die linearisierte RG-Transformation
Die Approximierbarkeit eines Operators durch eine lineare Abbildung heißt
mathematisch nichts anderes, als daß der Operator eine Ableitung besitzt.
In physikalischen Situationen genügt es häufig, daß nur alle Richtungsableitungen
existieren. Dies ist in für den Operator R der Fall.
F2 Alle Richtungsableitungen des Operators R existieren und sind für f, g ∈
D R gegeben durch
∂R
h = 2g • h.
∂g
Beweis: Seien g, h ∈ D R und ǫ ∈ R >0 . Dann gilt für alle x ∈ R N :
(R (g + ǫh))(x) − (Rg)(x)
ǫ
= 2g • h(x) + ǫh • h(x) ǫ→0
−→ 2g • h(x) .
Also ist 2g •h =: ∂R (g; h) das Richtungsdifferential von R an der Stelle g in
Richtung h. Die Abhängigkeit des Richtungsdifferentials von h ist linear, also
existiert die Richtungsableitung ∂R
∂R
und ist definiert durch h := 2g •h . ⊳
∂g ∂g
Falls die Ableitung existiert, kann sie nur die Form der Richtungsableitung
haben und muß zusätzlich ein beschränkter Operator sein. Dies ist für
den gewählten Definitionsbereich der Fall. Aber F2 ist nicht von der Norm
abhängig. Solange nur die entsprechenden Integrale existieren, bleibt also F2
für alle Definitionsbereiche gültig. Daher wird zunächst der Richtungsableitung
ein eigener Name gegeben.
Definition 1 Für f, g ∈ D R sei der Operator A(f) : D R −→ D R definiert
durch
A(f)g := 2f • g .