Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

5.1. ǫ-Entwicklung der Fixpunkte 95
Die Rekursionsgleichung für n ≥ 2, l = l ∗ ist also
z (n)
l ∗
=
(
1
−2b (1)
l ∗
2 ∑ ∑n−1
C il∗
l ∗
(N)z (n)
i α +
i≠l ∗
k=2
k=2
( ∑n−1
) )
−2 b (n)
l ∗
α + b (n+1−k)
l ∗
z (k)
l ∗
.
∑
i,j
C ij
l ∗
(N)z (n+1−k)
i z (k)
j
(6)
Mit Hilfe der eingerahmten Formeln kann man rekursiv die Entwicklungskoeffizienten
z (i)
l
bestimmen. Dies wurde mit dem Computeralgebraprogramm
Maple V Release 3 bis zur dritten Ordnung durchgeführt. Die Ergebnisse bis
zur zweiten Ordnung findet man in Anhang C. Die erste Ordnung kann man
noch direkt an den Gleichungen ablesen. Aufsummiert erhält man für den
Fixpunkt zu l ∗ = 2
Z(x) = 1 − log 2
16(N + 8) γ−2 ǫh (γ)
2 (x) .
Mit Hilfe von F11 aus Kapitel 2 rechnet man das Hermitepolynom aus.
h (γ)
2 (x) = x 4 − 2γ(N + 2)x 2 + γ 2 N(N + 2)
Man beachte den Fall N = −2. Im Hermitepolynom fällt der quadratische
und der konstante Term fort, und Z(x) hat im Gültigkeitsbereich der Approximation
die Form eines (nicht quadratischen!) Single-Well. Dies gilt ebenfalls
für das zugehörige Potential V (x) = − log Z(x). Bis zur dritten Ordnung
bleibt dieses Resultat gültig (Abb. 5.1), obwohl sich h n (x) nicht für alle n
auf (x 2 ) n reduziert. Für noch höhere Ordnungen wurde es nicht überprüft.
Für N > −2 hat Z in erste Ordnung die Form eines Double-Well und, dies
bleibt ebenfalls bis zur dritten Ordnung gültig. In Abb. 5.1 werden die Ergebnisse
der ǫ-Entwicklung mit den Ergebnissen der Numerik verglichen. Für
ǫ = 0.2 gibt es eine gute Übereinstimmung. Im Fall N = −2 lagen so nahe
bei d = 4 keine numerischen Ergebnisse vor, aber bei anderen Dimensionen
hat das Potential in der numerischen Näherung die Form eines Single-Well.
Aus der guten Approximation der Potentiale bei N = 0 und N = 5 kann
man schließen, daß die ǫ-Entwicklung auch für N = −2 und genügend kleine
Argumente eine gute Approximation an die richtige Form ist. Schließlich gibt
es noch eine Abbildung für N = 5 und ǫ = 0.3. An ihr kann man erkennen,
daß die Approximation bereits schlechter wird.