Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

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3.2. Fixpunkte, Eigenwerte und der kritische Exponent ν 77 Fig. 3.18: Eigenwerte für N > 0. Die durchgezogenen Linien gehören zu den Eigenwerten am UV-Fixpunkt und die (· · ·)-Linien zu den Eigenwerten am 2-Well- Fixpunkt. Im Bild für N = 10 gehören die (- - -)-Linien zum N → ∞-Fixpunkt und bei N = 1 und N = 5 gehören die sich bei d = 3 von den UV-Eigenwerten abspaltenden (· · ·)-Linien zum 3-Well-Fixpunkt. Für alle Fixpunkte gilt für den 0. Eigenwert: λ 0 = 2. Der nächstkleinere Eigenwert bei d = 3 ist je λ 1 etc. .
78 Kapitel 3. Numerische Berechnungen 3.3 Flußbild der RG-Transformation Schließlich wurden noch einige Flußbilder der RG-Transformation angefertigt. Dazu wurde die (normierte) algebraische RG-Transformation mit einer Trunkation l max = 10 iteriert und die Reihenkoeffizienten aus Gleichung (1) als räumliche Koordinaten benutzt. Der Fluß der Reihenkoeffizienten muß dazu geeignet in den zwei- bzw. dreidimensionalen Raum abgebildet werden. Die einfachste Möglichkeit ist, einfach alle Reihenkoeffzienten nach einer RG- Iteration durch den 0. Koeffzienten z 0 zu teilen und dann die Koeffizienten z 1 , z 2 und ggf. z 3 als Koordinaten zu verwenden. Startet man mit der Iteration in einiger Entfernung eines Fixpunktes, so hat man keine Kontrolle über die höheren Koeffzienten und die Flußbilder sind dann die Projektion des hochdimensionalen Flusses der 11 Reihenkoeffizienten. Insbesondere enthalten sie typischerweise Schleifen und Überschneidungen. Daher habe ich die Bilder dadurch gewonnen, daß nach jeder Iteration in den Vektor (z 0 , . . . , z lmax ) bis auf die als Koordinaten benutzen Reihenkoeffzienten wieder die zum 2-Well z ∗ gehörenden Werte eingesetzt wurden. Zusammen mit der Normierung wurde also folgende Abbildung verwendet. z ↦→ Rz = (z ′ 0, . . . , z ′ l max ) ↦→ ( z′ 0 z ′ 0 , . . . , z′ l max z ′ 0 ) ↦→ ( z∗ 0 z ∗ 0 , z′ 1 z ′ 0 , z′ 2 z ′ 0 , z′ 3 z ′ 0 , z∗ 0 z ∗ 0 , . . . , z∗ l max ) z0 ∗ In der Nähe des Fixpunktes ist diese Abbildung eine Approximation der ursprünglichen Abbildung. Dann wurden z′ 1, z′ z 0 ′ 2 und z′ z 0 ′ 3 als räumliche Koordinaten verwendet. Man hat so eine Abbildung R ′ : R 3 → R 3 und ver- z 0 ′ meidet Überschneidungen der Flußlinien. Abbildung 3.19 zeigt den Effekt dieser Ersetzung durch die Fixpunktwerte. Das linke Bild zeigt den Fluß mit der angesprochenen Ersetzung, das rechte Bild den Fluß ohne Ersetzung. Es gibt Überscheidungen der Flußlinien als Folge der Projektion des 10-dimensionalen Flusses auf 2 Dimensionen. Die Iterationen in der Nähe des Fixpunktes spiegeln nicht den wirklichen Fluß um den Fixpunkt wieder, da sie nicht wirklich in der Nähe des Fixpunktes sind, sondern dies nur durch die Projektion so scheint. Mit der Ersetzung wird der Fluß um den Fixpunkt besser wiedergegeben. Da für große Werte von N viele Reihenkoeffizienten eine Rolle spielen, lassen allerdings solche künstlich niedrigdimensional gemachten Abbildungen keine
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Analytische und numerische Untersuc
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Analytische und numerische Untersuc
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ii Inhaltsverzeichnis 2.8 Eigenwert
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2 Kapitel 0. Einleitung muß daher
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4 Kapitel 0. Einleitung Maß dµ w
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6 Kapitel 0. Einleitung und der tra
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8 Kapitel 0. Einleitung Man hat als
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10 Kapitel 0. Einleitung Physik ode
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12 Kapitel 0. Einleitung
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14 Kapitel 1. Das Modell die RG-Tra
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16 Kapitel 1. Das Modell entscheide
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18 Kapitel 1. Das Modell definiert.
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20 Kapitel 1. Das Modell F1 Für 0
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22 Kapitel 1. Das Modell von d ist
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24 Kapitel 1. Das Modell
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Seite 69 und 70: 60 Kapitel 3. Numerische Berechnung
Seite 85: 76 Kapitel 3. Numerische Berechnung
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Seite 98 und 99: 4.1. Eine genäherte asymptotische
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B.1. Zu den Trunkationseffekten 129
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B.2. Tabellen des kritischen Expone
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ANHANG C Einige Resultate der ǫ-En
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C.2. ǫ-Entwicklung des kritischen
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Literaturverzeichnis [Ami78] [AS84]
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[Por93] A. Pordt. Renormalization t
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Ich danke Andreas Pordt für die Be
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