Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

2.4. Entwicklung nach Hermitepolynomen 41
Unter Berücksichtigung von Gleichung (12) ergibt sich dann die folgende
Feststellung.
F11 Seinen γ und γ ′ reelle Zahlen (nicht notwendig größer als 0). Dann gilt
für die Entwicklungskoeffizienten c (k)
n in der Entwicklung
h (γ′ )
k
=
∞∑
n=0
c (k)
n h n
(γ)
eines Hermitepolynoms h (γ′ )
k
nach den Hermitepolynomen einer anderen Kovarianz
{ ∏ k−1
c (k)
n =
i=n (N + 2i)( k
n)
(γ − γ ′ ) k−n : n ≤ k
0 : n > k .
Beweis: Für γ, γ ′ > 0 ist nichts zu zeigen. Ist γ oder γ ′ kleiner oder gleich
Null, so addiere man auf beide ein ˜γ > 0, so daß ˜γ+γ > 0 und ˜γ+γ ′ > 0, und
wende eine Gaußintegration wie in Anhang A, Korollar 4 mit der Kovarianz
˜γ an.
⊳
Bemerkung: Für γ = 0 sieht man explizit, daß die h (γ′ )
k
tatsächlich O(N)-
invariant sind, denn dann hat man eine Entwicklung nach den p n ◦q E = ˆp n :
h (γ′ )
k
(x) =
k∑
n=0 i=n
k∏
( n
(N + 2i) (−γ
k)
′ ) k−n (x 2 ) n . (13)
Ferner stimmt die Gleichung für N = 1 mit der entsprechenden Formel für
die geraden Hermitepolynome bei skalaren Modellen überein. [GJ87, 9.1.12,
Seite 204] Ist zusätzlich noch γ = 0, so sind die c (k)
n wie erwartet die in den
Hermitepolynomen H (γ′ )
2k
auftretenden Koeffzienten.
2.4 Entwicklung nach Hermitepolynomen
Mit Gleichung (3) sieht man, daß es vorteilhaft ist, Funktionen e n zu wählen,
die Eigenfunktionen dieser Gaußintegration sind. In Anhang A bzw. im Beweis
zu Korollar 3 auf Seite 45 wird nachgerechnet, daß für die Funktionen
h (γ)
n
gilt
∫
dµ γ(1−β 2 )(x)h (γ)
n (x + βy) = h (γ−γ(1−β2 ))
n (βy) = β 2n h (γ)
n (y).