Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

62 Kapitel 3. Numerische Berechnungen
l max N = 3 N = 10 N = 20
10 0.77308443210437 - -
20 0.76113986112499 0.92746045611772 -
30 0.76113984902214 0.91861185755319 0.98467223300539
40 0.76113984902214 0.91861145661936 0.96069946588199
50 - 0.91861145661842 0.96068060650581
60 - - 0.96068060512759
70 - - 0.96068060512757
Tab. 3.1: ν in Abhängigkeit von N und l max .
3.2 Fixpunkte, Eigenwerte und der kritische Exponent ν
Angesichts der recht großen Menge an errechneten Daten, können nicht alle
Ergebnisse hier gezeigt werden. Allerdings wäre es auch redundant, alle Fixpunkte
zu zeigen. Also werde ich stattdessen versuchen, einige repräsentative
Fälle auszuwählen und die interessanten Stellen genauer zu beschreiben.
Zunächst wurden die (N = 1)-Resultate von Pinn, Pordt und Wieczerkowski
für die 2-Well-Fixpunkte reproduziert, um die Korrektheit des Algorithmus
noch einmal zu testen (vgl. Abb. 3.9), und dann die IR-Fixpunkte
(2-Wells) bei d = 3 und N von −1.9 bis 20 bestimmt. (Abb. 3.2 und 3.3;
es war bei d = 3 nicht möglich, den Fixpunkt bis zu N = −2 zu verfolgen.)
Diese Fixpunkte zeigen schon das typische Verhalten des IR-Fixpunktes mit
N für 2 < d < 4.
Weiterhin wurde die algebraische Transformation als Fortsetzung zu beliebigen
N benutzt. Die Potentiale für N ∉ N wurden unter Beschränkung auf
eine Komponente wie in (1) berechnet. Da man sich auch im Fall N ∈ N
aufgrund der O(N)-Invarianz auf eine Komponente beschränken kann, ist
dies die natürliche Interpretation des Potentials etwa eines 0-Komponenten-
Modells.
Die Verfolgung der Fixpunkte mit d bis zu Bifurkationspunkten war nicht
möglich. Für N ≥ 1 konnte man also d ր 4 und für d ց 2 nur bis zu
einem gewissen Abstand vom gewünschten Grenzwert durchführen. Gleiches
gilt für festes d für N → ∞ und N ց −2. (Für d = 2 war der Grenzwert
N ց −2 numerisch durchführbar.) Die folgenden Beobachtungen sind also
eigentlich auf den Numerikdaten basierende Behauptungen.