Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

6 Kapitel 0. Einleitung
und der transponierte Operator t C : G ′ → G ist über die Matrixtransposition
definiert. (Man beachte allerdings, daß keine Basis in G und G ′ festgelegt
wurde und daß bei dieser Sichtweise C(x, x ′ ) eine N ×N-Matrix ist, da noch
über die inneren Freiheitsgrade summiert werden muß.)
Nun soll die Theorie für das feinere Gitter durch die effektive Theorie, die zu
den gemittelten Feldern auf dem groberen Gitter gehört, ausgedrückt werden.
Die wichtigste Schwierigkeit bei diesem Schritt ist das Auftreten nichtlokaler
Terme in der effektiven Wechselwirkung.
Dieses Problem ist für hierarchische Modelle durch die Konstruktion gelöst.
Man ersetzt den Propagator w durch den hierarchischen Propagator v. Für
dessen Definition muß man die Unterteilung des Gitters noch weiter führen.
Für 0 ≤ j ≤ n sei
Λ (j) := (αL j )Z d /(αL j )L n−j Z d .
Dann ist Λ = Λ (0) , Λ ′ = Λ (1) , und Λ (n) besteht nur noch aus einem Punkt.
Die weiteren Λ (j) faßt man im oben diskutierten Sinn als Unterteilungen des
ursprünglichen Gitters in immer größere Hyperwürfel auf. Λ (n−1) gehört also
zu der Unterteilung in nur noch L d Hyperwürfel der Seitenlänge αL n−1 . Die
Definition von ∈ kann man wortwörtlich durch Ersetzen der Gitterkonstante
auf Elemente von Λ (j) und Λ (j+1) übertragen. Durch disjunkte Vereinigung
aller Λ (j) erhält man eine hierarchisch geordnete Menge. [Por93]
Mit Hilfe dieser hierarchischen Struktur, durch die der Name des hierarchische
Modells begründet ist, kann man den Propagator definieren. Dazu
benötigt man eine weitere Definition. Sei x ∈ Λ (j) , dann existiert für j < n
genau ein Element [x] ∈ Λ (j+1) , so daß x∈ [x] gilt. Definiere für x ∈ Λ und
k < n die k-fache Anwendung für k > 0 durch [x] k := [. . . [x] . . .] ∈ Λ (k)
und für k = 0 explizit durch [x] 0 = x. Der hierarchische Propagator ist dann
definiert durch
v(x, y) := v γ (x, y) :=
∑n−1
m=0
L (2−d)m γδ [x] m ,[y] m .
Im Gegensatz zum ursprünglichen Propagator ist v nicht mehr translationsinvariant.
Man kann ihn aber als (grobe) Näherung des feldtheoretischen
1
freien Propagators sehen, da er das Verhalten von grob simuliert.
|x−y| d−2
1
Dazu schreibt man den Vorfaktor in um. Und diesen Beitrag erhält
(L m ) d−2
man, wenn x und y in einem gemeinsamen Hyperwürfel der Kantenlänge L m
aus Λ (m) enthalten sind.