Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

34 Kapitel 2. Eigenschaften des Operators R
=
=
∞∑
a n+m
n!m! h(γ,N) n
n,m=0
∞∑
k=0
a k
k!
k∑
( k
n)
(x)H (γ)
2m(x N+1 )
h n
(γ,N) (x)H (γ)
2(k−n) (x N+1)
n=0
} {{ }
h (γ,N+1)
k (y)
= G N+1 (a, y) . ⊳
Bemerkung: Die Ähnlichkeit von Korollar 1 mit Lemma 1 in Anhang A
ist im Hinblick auf F1 (für F = 0) in Anhang A kein Zufall.
Diese Funktionen fassen viele der Beziehungen zwischen den Polynomen zusammen
und erleichtern dadurch die Berechnungen dieser Beziehungen. Berechnet
man
〈G N (a, ·), G N (b, ·)〉 γ =
∞∑
∞∑
n=0 m=0
a n b m
n!m! 〈h(γ) n , h (γ)
m 〉 γ , (9)
was mit der rechten Seite von Korollar 1 nun einfach möglich ist, kann man
durch Koeffizientenvergleich die gewünschten Orthogonalitätsrelationen ablesen.
Ein erster Schritt ist die Feststellung 6.
2.3.1 Die Orthogonalität der Hermitepolynome
F6 In der Situation von Definition 2 gilt:
〈G N (a, ·), G N (b, ·)〉 γ = ( 1 − 4γ 2 ab ) −N/2
Beweis: (x 2 = x 2 1 + · · · + x 2 N ). Das Produkt von zwei Funktionen G N ist
nach Korollar 1 gegeben durch:
G N (a, x)G N (b, x) = (Λ(a)Λ(b)) N/2 exp((aΛ(a) + bΛ(b))x 2 )
= ((1 + 2γa)(1 + 2γb)) −N/2 a
exp((
1 + 2γa + b
1 + 2γb )x2 ) .
Nach Voraussetzung ist a, b ∈ ] − 1 , 1
a
[ . Damit folgt ∈ ] − ∞, 1 [ ,
2γ 2γ 1+2γa 4γ
und man kann also die rechte Seite mit Hilfe von Lemma 1 in Anhang A