Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

114 Kapitel 6. Die Betafunktion
Also gilt die Behauptung nach Konstruktion der Folge.
⊳
Die Folge (a n ) n∈N ist nun noch zu bestimmen. Dazu sucht man ihre erzeugende
Funktion.
Lemma 2 Sei F : R → R die durch
F(x) := 1
2x − 1 − 1 √
1 − 4x, x ≠ 0,
2x
gegebene Funktion, ergänzt durch F(0) = 0. Dann gilt für die Koeffizienten
b n , n ∈ N, ihrer Taylorreihe um 0
a n = b n = − 1 1
)
2
(−4)
2( n+1 .
n + 1
Ferner gilt für den Konvergenzradius R der Taylorreihe R = 1 4 .
Beweis: F ist wirklich in eine Taylorreihe um 0 entwickelbar:
F(x) = 1
2x − 1 − 1
2x
∞∑
n=0
Weiterhin rechnet man nach, daß
( 1
)
2
(−4x) n = − 1 n 2
∞∑
n=1
F(x) = x + 2xF(x) + xF(x) 2
gilt. Also erhält man durch Koeffizientenvergleich aus
∞∑
∞∑
b n x n = x + 2 b n−1 x n +
n=1
n=2
( 1
)
2
(−4) n+1 x n .
n + 1
∞∑ ∑n−2
b k b n−1−k x n ,
n=3 k=1
daß die Entwicklungskoeffizienten b n von F die gleiche Rekursionsrelation
wie die a n erfüllen und zusätzlich a 1 = b 1 = 1 gilt. Der Konvergenzradius
ergibt sich schließlich aus dem der Binomischen Reihe.
⊳
Die folgende Feststellung folgt dann direkt aus dem Lemma.
F4 Sei im HT-Bild ρ ≥ 2 . Dann konvergiert ∑ ∞
1−2β 2 n=1 r(n) t n für |t| < K,
wobei
( ( ) ) 2 N/2 (
1 −
K = 1 4
2
ρ
‖z rel ‖ ρ
) −M
2β 2 ρ
ρ−2