Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

60 Kapitel 3. Numerische Berechnungen
mit
⎧
⎨
Sk nm (N) :=
⎩
∏
n+m−1
i=0
√
(2k)!
(N + 2i) ( )
n+m
k 4
k−n−m √ : k ≤ n + m
(2n)!(2m)!
0 : k > n + m
.
Für N = 1 stimmt dieses Gleichungssystem mit dem in [PPW94] überein.
Hat man eine Nullstelle z ∗ = (z ∗ 0, . . . , z ∗ l max
) gefunden, so ist
Z ∗ (x) =
l∑
max
l=0
z ∗ l
2 2l√ (2l)! σ−l x 2l
die gesuchte Näherung an einen Fixpunkt der nichttrunkierten RG-Transformation.
Für die Darstellung wurden alle Funktionen wieder in das UV-Bild umgerechnet
und durch
Ẑ ∗ :=
Z∗
Z ∗ (0)
normiert.
3.1 Trunkationseffekte
Bei einer Beschränkung auf die ersten l max + 1 Gleichungen wurden die
Fixpunkte mit Hilfe der Prozedur C05PBF der NAG-Library bestimmt. Sie
implementiert eine Kombination der Newton- und der Gradienten-Methode
und fordert die Angabe der Jacobimatrix der Abbildung, deren Nullstellen
zu bestimmen sind. Anschließend wurden die Eigenwerte der linearisierten
RG-Gleichung mit der Prozedur F02AFF berechnet.
Zunächst mußte untersucht werden, wie groß l max zu wählen ist. Dazu wurden
für d = 3 und N = 3, 10 und 20 Fixpunkte mit verschiedenen Werten für l max
gesucht und der kritische Exponent ν und die Potentiale für den Fixpunkt
berechnet. (Abb. 3.1) Daß es sich bei den gefundenen Werten tatsächlich um
einen approximativen Fixpunkt handelt, wurde überprüft, indem die RG-
Transformation auf ihn angewendet wurde und
max
n∈{0,...,l max}
( |Rzn − z n |
)
,
z n
also die maximale relative Abweichung, berechnet wurden. Die Werte sind für
einen numerisch bestimmten Fixpunkt je für die kleinen l max aus Tabelle 3.1