Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

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Korollar 4 Sei γ ′ ∈ R. Für die in Kapitel 1 definierten Hermitepolynome
H (γ′ )
µ gilt ∫
dµ γ (x)H (γ′ )
µ (x + y) = H (γ′ −γ)
µ (y) .
Für die Hermitepolynome h (γ′ )
n gilt entsprechend
∫
dµ γ (x)h (γ′ )
n (x + y) = h (γ′ −γ)
n (y) .
Beweis: Man drückt h (γ′ )
n wie in Kapitel 1 Gleichung (8) als Summe aus und
wendet F1 komponentenweise an.
⊳
Eine weitere Feststellung ist in diesem Zusammenhang noch wichtig. Sie
macht eine Aussage darüber, wie man H n
(aγ) (bx) für a und b ∈ R umformen
kann. Man kann die Regel direkt an der Definition der H (γ)
n
bzw. der H (γ)
µ
ablesen. Sie soll dennoch einmal explizit festgehalten werden. Im Falle a = b 2
gilt dabei die folgende Feststellung.
F2 Für die in Kapitel 1 definierten Hermitepolynome H µ (γ) : R N → R gilt
für a ∈ R:
H (a2 γ)
µ (ax) = a n H µ (γ) (x) mit n = |µ| .
Der häufiger benötigte Spezialfall lautet:
Korollar 5
h (a2 γ)
n (ax) = :((ax) 2 ) n : a 2 γ = a 2n :(x 2 ) n : γ = a 2n h (γ)
n (x)
F3 (Die erzeugende Funktion der Hermitepolynome)
∞∑ a
n! H(γ) n (x) = exp(ax − γa2
2 )
n=0
Beweis: Durch Umordnen der Reihen.
∞∑ a n
∞∑ a n (−γ) j
n! H(γ) n (x) =
(n − 2j)! 2 j j! xn−2j Θ([ n 2 ] − j)
n=0
n,j=0
∞∑
( )
1 −γa
2 j ∑ ∞
(ax) n
=
⊳
j! 2 n!
j=0
n=0