Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

14 Kapitel 1. Das Modell
die RG-Transformation dann eine quadratische Transformation ist. Die RG-
Transformation lautet dann
∫
(RZ)(x) = dµ σ (y)Z 2 (y + βx) ,
und man hat β := L 1−d/2 = 2 2−d
2d . Für volle Modelle hängen die physikalisch
interessanten Größen nicht von L ab. Für hierarchische Modelle ist L ein
Modellparameter, wobei es jedoch keine starke Abhängigkeit von L gibt. Dies
muß beim Vergleich numerischer Ergebnisse berücksichtigt werden. [KW91,
Seite 540]
Fixpunkte von R , also Funktionen Z ∗ mit RZ ∗ = Z ∗ , sind wie in der
Einleitung angesprochen besonders interessant. Sie sind Kandidaten für die
Konstruktion von Gittertheorien mit unendlicher Korrelationslänge und dies
ist die Voraussetzung dafür, daß der Kontinuumsgrenzwert nichttrivial ist.
Einen Fixpunkt kann man sofort angeben, nämlich Z 0 = 0. Mit ihm ist es
aber nicht möglich, ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu definieren. Daher ist er
physikalisch uninteressant. In gewissem Sinne gibt es noch einen zweiten ganz
trivialen Fixpunkt, nämlich Z ∞ = ∞. Bei der mathematischen Untersuchung
des Operators wird er aber keine Rolle spielen.
Es gibt jedoch noch zwei weitere triviale Fixpunkte, die beide eine physikalische
Bedeutung haben. Es ist der
Ultraviolett-Fixpunkt Z UV = 1 ,
der zum freien, masselosen Feld gehört, und der
Hochtemperatur-Fixpunkt Z HT ,
definiert durch Z HT (x) = N ∗ exp(−c ∗ x 2 ) mit N ∗ = L N
L d −1 und c∗ = L2 −1. Er
2σL d
gehört zu einem nicht wechselwirkenden Modell mit verschwindender Korrelationslänge.
Für die spezielle Wahl von L d = 2 ist also N ∗ = 2 N d = (2β 2 ) N/2
und c ∗ = 22/d −1
4σ
= 2β2 −1
4σ .
Dies rechnet man direkt oder mit Hilfe von Lemma A.1 nach.
Z HT (x)
!
= (RZ HT )(x)
∫
= N∗
Ld
dµ σ (y) exp(−c ∗ L d (y + βx) 2 )
( ) N
Lemma A.1 1
2
= N∗
Ld
exp
(− c )
∗L d
x 2
1 + 2σc ∗ L d 1 + 2σc ∗ L dβ2