Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

6.4. Die Betafunktion 115
der Konvergenzradius der Majorante ∑ ∞
n=1 c nt n ,
[ ( ( 2
) ) 2 −N/2 ( ) ]
2β 2 M n
ρ
c n = 1 −
‖z rel ‖ n+1
ρ a n ,
ρ ρ − 2
ist.
6.4 Die Betafunktion
Die RG-Transformation für den relevanten Anteil ist nur noch eine Abbildung
endlichdimensionaler Räume und wird als Betafunktion bezeichnet. Sei dazu
D B (M, q) = D B ⊆ R M die durch
D B (M, q) := {x ∈ R M | H(x, ·) ist eine Kontraktion auf B q (0)}
definierte Menge. B q (0) ist die Kugel um den Ursprung in B ρ mit dem Radius
q.
Definition 4 (Die Betafunktion)
Die Betafunktion B (M,q) = B : D B → D B ist die durch
B(x 0 , . . . , x M−1 ) := ˆP
(
)
Z rel (x) × Z rel (x) + 2Z rel (x) × r ∗ (x) + r ∗ (x) × r ∗ (x)
definierte Abbildung. Dabei ist r ∗ (x) der Fixpunkt der Abbildung H(x, ·).
Hat man x ∗ = B(x ∗ ) und r ∗ = r ∗ (x ∗ ) bestimmt, so ist
z ∗ = Z rel (x ∗ ) + r ∗
ein Fixpunkt von R :
)
Rz ∗ = (1 − P)
(Z rel (x ∗ ) × Z rel (x ∗ ) + 2Z rel (x ∗ ) × r ∗ + r ∗ × r ∗
)
+ P
(Z rel (x ∗ ) × Z rel (x ∗ ) + 2Z rel (x ∗ ) × r ∗ + r ∗ × r ∗
= H(x ∗ , r ∗ ) + Z rel (B(x ∗ )) = r ∗ + Z rel (x ∗ ) = z ∗ .
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Ergebnisse zu benutzen. Mit der
Abschätzung von H kann begründet werden, daß die Trunkierung des Systems
von Gleichungen bei der numerischen Behandlung für genügend große