Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

122 Anhang A. Gaußintegration und Hermitepolynome
Korollar 1 In der Situation von Lemma 3 gilt:
xH (γ)
n (x) − nγH (γ)
n−1 = H (γ)
n+1(x) .
Mit diesen Hilfmitteln bekommt man die folgende wichtige Feststellung.
F1 (Gaußintegration und Normalordnung) Für die Hermitepolynome
H (γ′ )
n mit γ ′ ∈ R gilt für alle n ∈ N 0
∫
dµ γ (x)H (γ′ )
n (x + y) = H (γ′ −γ)
n (y) .
Beweis: Per Induktion nach n. Für n = 0 und n = 1 ist H (γ′ )
0 (x) = 1 und
H (γ′ )
1 (x) = x unabhängig von γ ′ und invariant unter der Gaußintegration.
Somit ist nichts zu zeigen. Sei also n > 1. Dann gilt mit Korollar 1 und der
Induktionsvoraussetzung:
∫
∫ (
)
dµ γ (x)H (γ′ )
n+1(x + y) = dµ γ (x) (x + y)H (γ′ )
n (x + y) − nγ ′ H (γ′ )
n−1(x + y)
Lemma 2,
Ind.Vor.
= nγ ′ H (γ′ −γ)
n−1
(y) + yH (γ′ −γ)
n (y) − nγH (γ′ −γ)
n−1 (y) .
Zusammen mit Korollar 1 ist dies die Behauptung.
⊳
Einige Spezialfälle dieser Feststellung sollten vielleicht einzeln festgehalten
werden. Für γ ′ = γ lautet die Aussage von F1:
Korollar 2 (Gaußintegration als Umkehrung der Normalordnung)
∫
dµ γ (x)H (γ)
n (x + y) = y n für alle n ∈ N 0 .
Und für γ ′ = 0 erhält man:
Korollar 3 (Gaußintegration als Normalordnung negativer Kovarianz)
∫
dµ γ (x)(x + y) n = H (−γ)
n (y) für alle n ∈ N 0 .
Und dies kann man auch auf die L 2 -Räume über R N verallgemeinern: