Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

2.8. Eigenwerte der Linearisierung und Bifurkationen 51
Bifurkationspunkt ist. Sätze mit denen man zeigen kann, daß (d k , Z UV ) ein
Bifurkationspunkt ist, benötigen meist die Theorie der Abbildungengrade.
2.8.2 Die Eigenwerte am HT-Fixpunkt
Nun ist noch der andere bekannte Fixpunkt, Z HT , zu untersuchen. Zuerst
werden wieder die Eigenfunktionen in L 2 (R N , µ γ ) bestimmt, ohne O(N)-
Invarianz zu fordern.
F15 (Eigenfunktionen und Eigenwerte von A(Z HT ))
Die Eigenfunktionen von A(Z HT ) sind die Funktionen Z HT · H µ (˜γ) mit ˜γ =
γ 2(1−β2 )
und µ ∈ N N 4β 2 −1 0 . Die zugehörigen Eigenwerte sind ˆξ n = 2(2β) −n =
2 1−n2+d 2d , n = |µ|.
Beweis: Z HT kann man wie in Kapitel 1 beschrieben aus der RG-Gleichung
herausziehen.
(
) ∫
A(Z HT )Z HT · H µ
(˜γ) (y) = 2 dµ γ(1−β 2 )(x)ZHT(x 2 + βy)H µ (˜γ) (x + βy)
∫
= 2Z HT (y)
dµ γ
1−β 2
2β 2 (x)H (˜γ)
µ (x + 1
2β 2βy) .
Mit Korollar 4 aus Anhang A erhält man aus diesem Ergebnis:
(
A(Z HT )Z HT · H (˜γ)
µ
1−β2
(˜γ−γ
2β
)(y) = 2Z HT (y)H 2 )
µ ( 1
2β y) .
Es ist ˜γ − γ 1−β2
für das Polynom:
= 2(1−β2 )γ
− γ(1−β2 )
2β 2 4β 2 −1 2β 2
= ˜γ
4β 2 . Nach F2 in Anhang A gilt also
H ( ˜γ
4β 2 )
µ ( 1
2β y) = (2β)−|µ| H (γ′ )
µ (y) . ⊳
F16 (O(N)-symmetrische Eigenfunktionen und Eigenwerte von A(Z HT ))
Die Eigenfunktionen von A(Z HT ) sind die Funktionen Z HT · h (˜γ)
n mit ˜γ =
γ 2(1−β2 )
, und die zugehörigen Eigenwerte sind ˆλ 4β 2 −1 n = 2(2β) −2n = 2 1−n2+d d , n ∈
N 0 .