Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

86 Kapitel 4. Asymptotisches Verhalten für große N
=
√ ( ) N
(N − 3) N
exp(− N √ −1
πσ N 2 N − 3 2 )e−3 2 2
} {{ }
−→e 3 2
Sammelt man alle Ergebnisse zusammen und potenziert die resultierende
Gleichung mit 1 , so hat man asymptotisch und approximiert die einfache
N
Beziehung
Rζ(x 2 ) ≈ ζ 2 (β 2 x 2 + σ) . (2)
Die zugehörige algebraische RG-Transformation für den Fall, daß eine Entwicklung
∞∑
ζ(x 2 ) = z n σ −k (x 2 ) n (3)
existiert, ist dann aufgrund von
ζ 2 (β 2 x 2 + σ) =
durch die Abbildung
gegeben.
z k ↦→ β 2k
∞
∑
n,m=0
∞∑
n,m=0
k=0
n+m
∑
z n z m σ −n−m
k=0
( n + m
k
)
(β 2 x 2 ) k σ n+m−k
{ ( n+m
)
s nm
k z n z m , s nm : k ≤ n + m
k := k
0 : k > n + m
4.1.1 Ein Fixpunkt der genäherten Fixpunktgleichung
Die Fixpunktgleichung lautet asymptotisch für N → ∞
ζ(x 2 ) = ζ 2 (β 2 x 2 + σ) . (4)
Diese Gleichung ist tatsächlich explizit lösbar. Mit ζ(x 2 ) = exp(v(x 2 )) folgt
v(x 2 ) ! = 2v(β 2 x 2 + σ) ,
und speziell hat man
1
v(0) = v(σ) .
2
Induktiv erhält man aus den letzten beiden Gleichungen (σ > 0) für n ∈ N 0
1
( )
2 v(0) = v(σ) = 2v (β 2 + 1)σ ⇒ 1 ( n−1
2 nv(0) = v ∑ ) ( 1 − β
β 2k 2n )
σ = v
1 − β σ .
2
k=0