Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

2.6. Verallgemeinerung auf reelle N 45
q E , so entspricht dem Operator R eine Abbildung von einer Teilmenge D ′
von R ∞ nach D ′ , die wieder mit R bezeichnet wird:
R ist gegeben durch
D ′ ∋ z = (z 0 , z 1 , z 2 , . . .) ↦→ Rz ∈ D ′ .
R ∋ z k ↦→ R (z) k = β 2k
∞
∑
m,n=0
S nm
k (N)z n z m .
Die Bemerkungen über Isomorphie und die Produkte • und × für die algebraische
RG-Transformation bei Entwicklung nach den Hermitepolynomen
übertragen sich sinngemäß. Ebenso gilt die Feststellung auch hier in beiden
Bildern, indem man nur β und γ entsprechend wählt.
2.6 Verallgemeinerung auf reelle N
Da die algebraischen RG-Transformationen in F13 und F12 nicht mehr voraussetzen,
daß N ganzzahlig und größer als Eins ist, kann man sie benutzen,
um N-Komponenten-Modelle für N ∈ R zu definieren. Die physikalische Motivation
für diesen zunächst etwas seltsam erscheinenden Schritt liegt darin,
daß man so etwa Fixpunkte für das 0-Komponenten-Modell berechnen kann
und auch den kritischen Index ν für dieses Modell bestimmen kann. Das
0-Komponenten-Modell beschreibt als volles Modell das Verhalten von Polymeren.
[FFS92, ZJ90]
Weiterhin kann man dann die Ergebnisse der Rechnungen von [BT73, BT74]
zu Modellen mit −2 Komponenten mit denen für das hierarchische Modell
vergleichen. Das volle −2-Komponenten-Modell hat nach diesen Rechnungen
den klassischen kritschen Exponenten ν = 1 . (Vgl. dazu auch die ǫ-
2
Entwicklung, etwa bei [WK74].)
Zusätzlich ist es für die numerische Behandlung der Modelle von Vorteil,
wenn man N in kleinen Schritten verändern kann.
Eine Frage bei dieser Verallgemeinerung ist, wie man die Potentiale und
Fixpunkte als Funktion für ein nichtnatürliches N definiert. Aber schon im
Fall N ∈ N kann man sich unter Ausnutzung der O(N)-Invarianz auf eine
Komponente beschränken. Hat man also einen Fixpunkt (z 0 , z 1 , . . .) der