Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

2.4. Entwicklung nach Hermitepolynomen 43
Die Ungleichungen sind äquivalent zu der Summationsbedingung in den
Cl
nm (N). |n−m| ≤ l ⇔ −l ≤ n−m ∧ n−m ≤ l ⇔ l ≤ n+m ∧ m ≤ n+l.
Aus der Summationsbedingung folgt, daß die Summe genau dann nicht Null
ist, wenn die drei Ungleichungen n ≤ n+m+l , m ≤ n+m+l und l ≤ n+m+l
2 2 2
erfüllt sind, welche äquivalent zu den anderen drei Ungleichungen sind. Ein
zusätzliches Resultat über die Struktur der Cl
nm erhält man so auch noch.
Sei s nm
l = 1 falls Cl
nm ≠ 0 und sonst s nm
l = 0. Dann sieht man, daß s nm
l symmetrisch
unter beliebigen Permutationen von n, m und l ist und daß s l (und
damit auch C l ) eine Matrix“ mit je l Nebendiagonalen ober- und unterhalb
”
der Hauptdiagonalen ist, bei der durch die dritte Ungleichung l ≤ n + m
” oben-links“ noch ein Dreieck der Kantenlänge“ l Null ist. Für l = 0 ist sie
”
diagonal.
Auf die gleiche Weise überträgt sich die Definition des •-Produktes. Für
x, y ∈ D wird die Schreibweise x ×y verwendet, wobei das ×-Produkt durch
(x × y) k := β 2k ∞
∑
m,n=0
Ck
nm (N)x n y m
gegeben ist. Die RG-Transformation kann dann wieder kompakt als
geschrieben werden.
R (z) = z × z
Die Menge D besteht aus allen ”
Entwicklungsvektoren“ in R ∞ von Funktionen
in D R ⊆ L 2 (R N , µ γ ) O(N) .
Dadurch hat man eine Isomorphie von Vektorräumen, vermittelt durch die
Koordinatenabbildung κ : D R ≃ D. κ ist definiert durch
D R ∋ f =
∞∑
n=0
f n γ −n h (γ′ )
n ↦→ κ(f) = (f 0 , f 1 , f 2 , . . .) ∈ D ⊆ R ∞ .
Da das •-Produkt mit der Koordinatenabbildung κ aufgrund von κ(f • g) =
κ(f) × κ(g) (für β ≠ 1) verträglich ist, ist D wieder eine nicht-assoziative,
kommutative Algebra ohne Eins. Später wird im HT-Bild wieder eine Algebranorm
eingeführt.