Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

3.2. Fixpunkte, Eigenwerte und der kritische Exponent ν 63
Für den Fixpunkt, der sich bei d = 4 vom UV-Fixpunkt abspaltet, wurde
das folgende Verhalten beobachtet.
• Für N = −2 hat das Potential die Form eines 1-Wells, und der kritische
Exponent ν ist wie am UV-Fixpunkt 1 . (Abb. 3.3, 3.15, 3.16) Ein
2
least-square-fit des doppeltlogarithmisch aufgetragenen Potentials im
Bereich x = 0.01...0.5 ergab eine Gerade der Steigung 3.982(2). Dies
ist mit dem Ergebnis der ǫ-Entwicklung in Kapitel 5 zu vergleichen.
In erster Ordnung erhält man aus der ǫ-Entwicklung in der Nähe von
d = 4 ein Potential der Form v(x) = c 1 + c 2 x 4 .
• Für N > −2 hat das Potential die Form eines 2-Wells, dessen Minimum
mit wachsendem N tiefer wird und sich zu größeren Argumenten
verschiebt. Der kritische Exponent ν ist größer als 1 und wird mit N
2
größer. (Abb. 3.2, 3.3, 3.6)
• Für alle N und d ր 4 geht ν gegen 1 , den Wert am UV-Fixpunkt, von
2
dem sich der nichttriviale Fixpunkt abspaltet. (Abb. 3.6)
• Für große Werte von N geht der kritische Exponent ν gegen den durch
1
asymptotische Entwicklung gewonnenen Wert . (Abb. 3.6)
d−2
• N √Z ∗ ( √ N·) konvergiert für N → ∞ gegen eine Funktion ζ ∗ . Ist x m die
Stelle des Maximums von Z ∗ bzw. des Minimums von V ∗ = − log Z ∗ ,
so hat man für große Werte von N also x m ∼ const. · √N.
(Abb. 3.4)
• N ≥ 1 (Abb. 3.6, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12 und 3.18)
– Der Fixpunkt existiert nur für 2 < d < 4.
– ν divergiert für d ց 2. Dies liegt daran, daß der erste Eigenwert
der linearisierten Transformation am IR-Fixpunkt gegen 1 geht:
λ 1 → 1 und ν = log 2
log(λ 1 )d .
• 0 < N < 1 (Abb. 3.6, 3.18)
– Der Fixpunkt existiert für d ′ < d < 4 mit einem 0 < d ′ < 2.
– d ′ wächst (nicht linear) mit N von 0 auf 2.
– ν divergiert für d ց d ′ und dies liegt an λ 1 → 1 in ν = log 2
log(λ 1 )d .
• N = 0. (Abb. 3.6, 3.8, 3.17)