Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

78 Kapitel 3. Numerische Berechnungen
3.3 Flußbild der RG-Transformation
Schließlich wurden noch einige Flußbilder der RG-Transformation angefertigt.
Dazu wurde die (normierte) algebraische RG-Transformation mit einer
Trunkation l max = 10 iteriert und die Reihenkoeffizienten aus Gleichung (1)
als räumliche Koordinaten benutzt. Der Fluß der Reihenkoeffizienten muß
dazu geeignet in den zwei- bzw. dreidimensionalen Raum abgebildet werden.
Die einfachste Möglichkeit ist, einfach alle Reihenkoeffzienten nach einer RG-
Iteration durch den 0. Koeffzienten z 0 zu teilen und dann die Koeffizienten
z 1 , z 2 und ggf. z 3 als Koordinaten zu verwenden.
Startet man mit der Iteration in einiger Entfernung eines Fixpunktes, so hat
man keine Kontrolle über die höheren Koeffzienten und die Flußbilder sind
dann die Projektion des hochdimensionalen Flusses der 11 Reihenkoeffizienten.
Insbesondere enthalten sie typischerweise Schleifen und Überschneidungen.
Daher habe ich die Bilder dadurch gewonnen, daß nach jeder Iteration in
den Vektor (z 0 , . . . , z lmax ) bis auf die als Koordinaten benutzen Reihenkoeffzienten
wieder die zum 2-Well z ∗ gehörenden Werte eingesetzt wurden.
Zusammen mit der Normierung wurde also folgende Abbildung verwendet.
z ↦→ Rz = (z ′ 0, . . . , z ′ l max
) ↦→ ( z′ 0
z ′ 0
, . . . , z′ l max
z ′ 0
) ↦→ ( z∗ 0
z ∗ 0
, z′ 1
z ′ 0
, z′ 2
z ′ 0
, z′ 3
z ′ 0
, z∗ 0
z ∗ 0
, . . . , z∗ l max
)
z0
∗
In der Nähe des Fixpunktes ist diese Abbildung eine Approximation der
ursprünglichen Abbildung. Dann wurden z′ 1, z′ z 0
′ 2
und z′ z 0
′ 3
als räumliche Koordinaten
verwendet. Man hat so eine Abbildung R ′ : R 3 → R 3 und ver-
z 0
′
meidet Überschneidungen der Flußlinien. Abbildung 3.19 zeigt den Effekt
dieser Ersetzung durch die Fixpunktwerte. Das linke Bild zeigt den Fluß
mit der angesprochenen Ersetzung, das rechte Bild den Fluß ohne Ersetzung.
Es gibt Überscheidungen der Flußlinien als Folge der Projektion des
10-dimensionalen Flusses auf 2 Dimensionen. Die Iterationen in der Nähe des
Fixpunktes spiegeln nicht den wirklichen Fluß um den Fixpunkt wieder, da
sie nicht wirklich in der Nähe des Fixpunktes sind, sondern dies nur durch
die Projektion so scheint. Mit der Ersetzung wird der Fluß um den Fixpunkt
besser wiedergegeben.
Da für große Werte von N viele Reihenkoeffizienten eine Rolle spielen, lassen
allerdings solche künstlich niedrigdimensional gemachten Abbildungen keine