Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

2.9. Exakte RG-Iterationen 57
⇐⇒ c <
(
(2β 2 ) n + σ )
1 − (2β 2 ) n −1
1
γ 1 − 2β 2 4γ
n→∞
−→ 0
einen Widerspruch (2β 2 = 2 2 d > 1). Ist also c > 0, so kann man immer ein
M finden, so daß R M ϕ /∈ L 2 (R N , dµ γ ).
Im HT-Bild gibt es hier einen wichtigen Unterschied. Da die Konstanten
im HT-Bild und im UV-Bild hier nebeneinander benutzt werden, sei β ′ , γ ′
und σ ′ ihr Wert im HT-Bild und ˆR der zugehörige RG-Operator. Man kann
ˆR auch auf Funktionen ϕ c mit gewissen positiven c iterieren. Im HT-Bild
ist 2β ′2 = 2 − 2 d < 1. Also ist
äquivalent zu
c(2β ′2 ) n
1 − 4σ ′ c ∑ n−1
k=0 (2β′2 ) < 1 für alle n ∈ N k 4γ ′ 0
c <
((2β ′2 ) n + σ′
γ ′ 1 − (2β ′2 ) n
1 − 2β ′2 ) −1
1
4γ ′ n→∞
−→ 1 − 2β′2
4σ ′ für alle n ∈ N 0
und man kann daher genau dann beliebig häufig R auf Exponentialfunktionen
ϕ c anwenden, wenn c ≤ 1−2β′2 . (Die Folge auf der rechten Seite ist
4σ ′
monoton fallend, und den Fall =“ prüft man leicht nach)
”
Diese Betrachtungen faßt das folgende Korollar noch einmal zusammen.
Korollar 5 Sei c ≤ 1−2β′2 und a ′ 4σ ′ n der Vorfaktor der Exponentialfunktion in
F18 mit den zum HT-Bild gehörenden Konstanten. Dann gilt für die RG-
Transformation im HT-Bild für alle n ∈ N 0
ˆR n ϕ c ∈ L 2 (R N , dµ γ ) ,
und ist c < 1−2β′2 , so gilt für die normierte RG-Transformation zusätzlich
4σ ′
lim
n→∞ a′ −1 ˆR n n ϕ c (x) = 1 .
Das heißt, bis auf die Normierung konvergiert die Funktionenfolge wieder
gegen den Hochtemperaturfixpunkt ẐHT = 1 von ˆR.
Beweis: klar. (Durch die Definition der Norm des Definitionsbereiches im
HT-Bild.)