Johannes Göttker-Schnetmann - Institut für Theoretische Physik ...

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9 d.h. z ist unabhängig von x und hat die Form z(x, φ(x)) =: z(φ(x)). Damit gilt Z ′ (φ ′ ) = ∏ ( ∫ ) L dµ γ (Ψ)z(L 1− d d 2 φ ′ (x ′ ) + Ψ) . x ′ ∈Λ ′ (Die Potenz von L, 2−d, ist das Negative der d−2 Ingenieursdimension“ des 2 ” 2 Feldes.) Die RG-Transformation für die Faktoren z, z ′ : R N → R ist ein N-dimensionales Integral über die inneren Freiheitsgrade und gegeben durch ( ∫ ) L z ′ (Φ) = dµ γ (Ψ)z(L 1− d d 2 Φ + Ψ) . Die endgültige Form erreicht man, indem man noch β := L 1− d 2 setzt und z, z ′ durch z Ld bzw. z ′Ld ersetzt ∫ (Rz)(Φ) := z ′ (Φ) = dµ γ (Ψ)z Ld (Ψ + βΦ) . (1) Gleichung (1) kann man zu beliebigen L ∈ R >1 und d ∈ R >0 fortsetzen. Die RG-Transformation ist dann eine nichtlineare Transformation mit den reellen Parametern d, L und γ. Betrachtet die Menge der Fixpunkte als die Lösungen der Gleichung, so haben nichtlineare Transformationen typischerweise kritische Parameter, bei denen sich die Lösungsmenge qualitativ verändert. Im einfachsten Fall treten bei gewissen kritischen Parametern zusätzliche Lösungen auf. Dies ist bei der hierarchischen RG-Transformation der Fall, und einer der kritischen Werte von d ist d = 4. Gleichung (1) simuliert viele der (kritischen) Eigenschaften der vollen RG-Transformation gut und ist einer mathematischen Behandlung leichter zugänglich. Daher werden neue Ideen meist zunächst an hierarchischen Modellen getestet, um anschließend eine Verallgemeinerung auf volle Modelle zu versuchen. Ein wichtiger Unterschied zwischen hierarchischen Modellen und vollen Modellen ist der kritische Exponent η. Bei hierarchischen Modellen ist η = 0. Der Nachweis ist durch Differentiation der Fixpunktgleichung möglich. [Por96] Die Konstruktion von Modellen mit einer hierarchischen Symmetrie, wie z.B. auch in [CE78], ist nur eine der Möglichkeiten, die hierarchische RG-Transformation zu motivieren. Man kann sie auch als (ultralokale) Approximation der RG-Transformation euklidischer Feldtheorien auffassen [PPW94] oder als Näherung der bei der Behandlung wechselwirkender Oberflächen auftretenden RG-Transformation betrachten [CM94]. Nicht zuletzt erhält man sie auch durch Approximation einer RG-Transformationen der statistischen
10 Kapitel 0. Einleitung Physik oder der euklidischen Quantenfeldtheorie auf dem Gitter. (z.B. aus der Kadanoff-Wilson RG-Transformation: [Rol96]) Diese sind typischerweise ad hoc Approximationen der vollen RG-Transformation und nicht im Sinne der niedrigsten Ordnung einer Entwicklung der vollen Transformation zu verstehen. Neben der Betrachtung als Untersuchungsmethode fast kritischer und skaleninvarianter Theorien, kann man iterierte RG-Transformationen als schrittweise Berechnung der hochdimensionalen Integrale in den erzeugenden Funktionen ansehen. Man kann sie aber auch als Hilfsmittel für die Untersuchung der Existenz des IR- und des UV-Grenzwertes benutzen. Dabei ist der gemeinsam zugrundeliegende Gedanke, die vorgegebene Theorie mit Hilfe der RG-Transformation durch eine effektive zu ersetzen. Die oben besprochenen Rechnungen kann man auch auf einem Multigrid“ ” durchführen. [MP85, Por90, Por93, Riv91] Dies wurde bei der Definition des hierarchischen Propagators schon angedeutet. Dann entspricht die gefundene RG-Transformation der Transformation zwischen zwei Lagen des Multigrid und man bekommt Werkzeuge in die Hand, um sowohl den UV- als auch den IR-Grenzwert zu untersuchen. Mit der Bezeichnung z j−1 = Rz j so zu wählen, daß lim n→∞ R n z n (n) existiert. Untersucht man die Existenz dieser Grenzwerte, so stellt man fest, daß sie nicht für alle auf endlichen Gittern definierbaren Wechselwirkungen existieren. Das besondere Interesse an Fixpunkten der RG-Transformation kommt dann bei dieser Sichtweise daher, daß man für einen Fixpunkt den Grenzwert besonders einfach durchführen kann. Weiterhin erhält man ein Teilergebnis zur Universalität: Theorien, die durch verschiedene Wechselwirkungen definiert sind, können den gleichen Grenzwert haben. bedeutet die Durchführung des UV-Grenzwertes, z (n) n Diese Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut. In Kapitel 1 wird die Definition der RG-Transformation präzisiert. Basierend auf der vorgegebenen Integralform wird ein Operator auf einem Banachraum definiert. Die Eigenschaften dieses Operators werden in Kapitel 2 untersucht, und es werden zu ihm gehörende ” algebraische RG-Transformationen“ abgeleitet. Diese Gleichungen werden in Kapitel 3 benutzt, um numerisch Fixpunkte der RG- Transformation zu finden. Mit Hilfe der numerisch bestimmten Fixpunkte werden die Eigenwerte der linearisierten RG-Transformation berechnet. Aus den Eigenwerten erhält man den kritschen Exponenten ν. Mit Hilfe der algebraischen RG-Transformation wird zu reellen Werten von N fortgesetzt und
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Seite 9 und 10: ii Inhaltsverzeichnis 2.8 Eigenwert
Seite 11 und 12: 2 Kapitel 0. Einleitung muß daher
Seite 13 und 14: 4 Kapitel 0. Einleitung Maß dµ w
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Seite 17: 8 Kapitel 0. Einleitung Man hat als
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Seite 23 und 24: 14 Kapitel 1. Das Modell die RG-Tra
Seite 25 und 26: 16 Kapitel 1. Das Modell entscheide
Seite 27 und 28: 18 Kapitel 1. Das Modell definiert.
Seite 29 und 30: 20 Kapitel 1. Das Modell F1 Für 0
Seite 31 und 32: 22 Kapitel 1. Das Modell von d ist
Seite 33 und 34: 24 Kapitel 1. Das Modell
Seite 35 und 36: 26 Kapitel 2. Eigenschaften des Ope
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60 Kapitel 3. Numerische Berechnung
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82 Kapitel 4. Asymptotisches Verhal
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4.1. Eine genäherte asymptotische
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KAPITEL 5 ǫ-Entwicklung In diesem
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5.1. ǫ-Entwicklung der Fixpunkte 9
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5.2. ǫ-Entwicklung der Eigenwertgl
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5.2. ǫ-Entwicklung der Eigenwertgl
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106 Kapitel 6. Die Betafunktion den
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110 Kapitel 6. Die Betafunktion Mit
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114 Kapitel 6. Die Betafunktion Als
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6.4. Die Betafunktion 117 Zusammenf
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ANHANG A Gaußintegration und Hermi
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122 Anhang A. Gaußintegration und
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B.1. Zu den Trunkationseffekten 129
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B.2. Tabellen des kritischen Expone
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ANHANG C Einige Resultate der ǫ-En
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C.2. ǫ-Entwicklung des kritischen
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Literaturverzeichnis [Ami78] [AS84]
Seite 148:
[Por93] A. Pordt. Renormalization t
Seite 154 und 155:
Ich danke Andreas Pordt für die Be
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